从有限自动机生成正则表达式

先决条件 – FA 介绍、正则表达式、语法和语言、从正则表达式设计 FA

有两种方法可以将 FA 转换为正则表达式 –
1. 状态消除法——

• 第1步 –
  如果开始状态是一个接受状态或有转换，添加一个新的非接受开始状态，并在新的开始状态和以前的开始状态之间添加一个 € 转换。
• 第2步 –
  如果有多个接受状态或单个接受状态有转换，则添加一个新的接受状态，使所有其他状态不接受，并添加从每个先前接受状态到新接受状态的 € 转换。
• 第 3 步 –
  依次对于每个非启动非接受状态，消除该状态并相应地更新转换。

示例：-

解决方案：-
第1步

第2步

第 3 步

2. Arden 定理——设 P 和 Q 是 2 个正则表达式。如果 P 不包含空字符串，则 R 中的以下方程，即 R = Q + RP，有一个唯一解 R = QP*

假设——

• 转移图不应该有€-moves。
• 它必须只有一个初始状态。

使用 Arden 定理找到确定性有限自动机的正则表达式 –

1. 为了获得自动机的正则表达式，我们首先为所有状态创建给定形式的方程
   q ₁ = q ₁ w ₁₁ +q ₂ w ₂₁ +…+q _n w _n1 +€(q ₁是初始状态)
   q ₂ = q ₁ w ₁₂ +q ₂ w ₂₂ +…+q _n w _n2
   .
   .
   .
   q _n = q ₁ w _1n +q ₂ w _2n +…+q _n w _nn
   
   w _ij是表示从 q _i到 q _j边的标签集的正则表达式

   注意 –对于平行边，表达式中将有许多该状态的表达式。

2. 然后我们求解这些方程以获得关于 w _{ij 的}q _i方程，该表达式是所需的解，其中 q _i是最终状态。

示例：-

解决方案

:-
这里初始状态是q ₂ ，最终状态是q ₁ 。
三个状态q ₁ 、q ₂和q ₃的方程如下?
q ₁ = q ₁ a + q ₃ a + €(€ 移动是因为 q ₁是初始状态)
q ₂ = q ₁ b + q ₂ b + q ₃ b
q ₃ = q ₂
现在，我们将解决这三个方程?
q ₂ = q ₁ b + q ₂ b + q ₃ b
= q ₁ b + q ₂ b + (q ₂ a)b (q _{3 的}代入值)
= q ₁ b + q ₂ (b + ab)
= q ₁ b (b + ab)*(应用阿登定理)
q ₁ = q ₁ a + q ₃ a + €
= q ₁ a + q ₂ aa + €(替换 q _{3 的}值)
= q ₁ a + q ₁ b(b + ab*)aa + €(q _{2 的}替代值)
= q ₁ (a + b(b + ab)*aa) + €
= € (a+ b(b + ab)*aa)*
= (a + b(b + ab)*aa)*
因此，正则表达式是 (a + b(b + ab)*aa)*。

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2008，问题 52
2. GATE CS 2007，问题 74
3. GATE CS 2014 (Set-1)，问题 25
4. GATE CS 2014 (Set-1)，问题 65
5. GATE IT 2006，问题 5
6. GATE CS 2013，问题 33
7. GATE CS 2012，问题 12