有限自动机模式搜索

简介

有限自动机模式搜索（Finite Automata Pattern Searching）是一种用于字符串匹配的算法。它可以在一个文本串中搜索一个模式串，从而确定模式串是否出现在文本串中。

该算法的主要思想是将模式串构建成一种有限状态自动机，在自动机上进行匹配。具体而言，我们可以将每个字符看作一个状态，将模式串中的字符依次插入到自动机中，生成所有可能的状态转移。然后，将文本串依次输入到自动机中，根据自动机的状态转移来得到匹配结果。

这种算法的时间复杂度为O(n)，其中n是文本串的长度。这一点与其他常见的字符串匹配算法（如KMP算法）相比，具有一定的优势。此外，有限自动机模式搜索还有一个优点是可以进行多模式匹配。

实现

有限自动机模式搜索算法的实现分为两个主要步骤：构建有限状态自动机和在自动机上进行匹配。

构建有限状态自动机

构建有限状态自动机的过程可以分为以下几个步骤：

1. 根据模式串生成状态转移表（Transition Table）。状态转移表是一个二维数组，其中第i行第j列表示自动机当前状态为i时，输入字符为j时需要转移到哪个状态。
2. 生成失败指针（Failure Pointer）。失败指针是一个指向自动机上已插入字符的最长前缀的指针。具体而言，假设当前状态为s，下一次输入字符为ch，如果在状态s下，没有一个转移能够使得从状态s输入ch后进入一个已插入的状态，那么我们需要通过失败指针找到状态s的最长前缀状态s'，使得在状态s'下可以转移输入字符ch。如果找不到这样的状态，失败指针将指向自动机的起始状态。
3. 生成输出指针（Output Pointer）。输出指针也是一种指针，它将所有以当前状态为结尾的模式串记录下来。具体而言，我们每当遇到一个模式串在自动机上到达终止状态，就将这个模式串记录在输出指针的对应位置上。

在自动机上进行匹配

在自动机上进行匹配的过程也可以分为几个步骤：

1. 将文本串转化为字符数组，以方便输入到自动机中。
2. 遍历文本串的所有字符，逐个输入到自动机中，根据状态转移表更新自动机状态。
3. 每次更新状态后，检查自动机是否到达了一个终止状态，如果是，就根据输出指针输出对应的模式串信息。

代码实现

以下是Java语言的代码实现，模拟了一个简单的有限状态自动机：

public class FiniteAutomata {
    private static final int STATE_NUM = 6;
    private static final int ALPHABET_NUM = 2;
    private static final int[] FINAL_STATES = {3, 5};
    private static final char[] ALPHABET = {'0', '1'};
    private static final int[][] TRANSITION_TABLE = {
        {1, 0},
        {2, 0},
        {3, 0},
        {3, 4},
        {3, 5},
        {1, 0}
    };

    public static void main(String[] args) {
        String input = "01010101010";
        int state = 0;
        for(int i = 0; i < input.length(); i++){
            char ch = input.charAt(i);
            int chIndex = -1;
            for(int j = 0; j < ALPHABET.length; j++){
                if(ch == ALPHABET[j]){
                    chIndex = j;
                }
            }
            if(chIndex != -1){
                state = TRANSITION_TABLE[state][chIndex];
            }
            if(isFinalState(state)){
                System.out.println("Matched at index: " + (i + 1));
            }
        }
    }

    private static boolean isFinalState(int state){
        for(int i = 0; i < FINAL_STATES.length; i++){
            if(FINAL_STATES[i] == state){
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

其中，TRANSITION_TABLE是状态转移表，FINAL_STATES定义了所有终止状态的编号，ALPHABET定义了所有输入字符，在上述代码中是{'0', '1'}。在遍历文本串的过程中，我们首先对当前字符进行了查询，确定字母在ALPHABET中的位置，然后根据TRANSITION_TABLE和当前状态进行状态转移。最后，如果到达了一个终止状态，我们就输出匹配的位置。

参考文献

1. A. V. Aho, J. E. Hopcroft, and J. D. Ullman. The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley, 1974.
2. K. Boyer and J. Moore. A fast string searching algorithm. Communications of the ACM, 20(10):762–772, 1977.
3. 周昌贵, 《算法竞赛入门经典》. 人民邮电出版社, 2013.