📌  相关文章
📜  SciPy-CSGraph

📅  最后修改于: 2020-11-05 04:36:26             🧑  作者: Mango

CSGraph代表压缩稀疏图，它专注于基于稀疏矩阵表示的快速图算法。

图表示

首先，让我们了解什么是稀疏图及其在图形表示中的帮助。

稀疏图到底是什么?

图只是节点的集合，节点之间具有链接。图几乎可以代表任何事物-社交网络连接，其中每个节点都是一个人，并与熟人相连；图像，其中每个节点是一个像素，并连接到相邻像素；高维分布的点，其中每个节点都与其最近的邻居相连；以及您可以想象的几乎所有其他内容。

表示图形数据的一种非常有效的方法是在稀疏矩阵中：让我们将其称为G。矩阵G的大小为N x N，而G [i，j]给出节点’i’和node之间的连接值。 ‘j’。稀疏图主要包含零-也就是说，大多数节点只有几个连接。在大多数情况下，此属性都是正确的。

稀疏图子模块的创建是由scikit-learn中使用的几种算法推动的，其中包括以下内容-

  • Isomap-流形学习算法，需要找到图中最短的路径。

  • 分层聚类-基于最小生成树的聚类算法。

  • 频谱分解-基于稀疏图拉普拉斯算子的投影算法。

举一个具体的例子，假设我们想代表以下无向图-

无向图

此图包含三个节点，其中节点0和1通过权重2的边缘连接，节点0和2通过权重1的边缘连接。我们可以构造密集，蒙版和稀疏表示，如以下示例所示，请记住，无向图由对称矩阵表示。

G_dense = np.array([ [0, 2, 1],
                     [2, 0, 0],
                     [1, 0, 0] ])
                     
G_masked = np.ma.masked_values(G_dense, 0)
from scipy.sparse import csr_matrix

G_sparse = csr_matrix(G_dense)
print G_sparse.data

上面的程序将生成以下输出。

array([2, 1, 2, 1])

使用对称矩阵的无向图

这与前面的图相同，除了节点0和2通过零权重的边连接。在这种情况下，上面的密集表示会导致歧义-如果零是有意义的值，那么如何表示非边缘。在这种情况下，必须使用掩码表示或稀疏表示来消除歧义。

让我们考虑以下示例。

from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense
G2_data = np.array
([
   [np.inf, 2, 0 ],
   [2, np.inf, np.inf],
   [0, np.inf, np.inf]
])
G2_sparse = csgraph_from_dense(G2_data, null_value=np.inf)
print G2_sparse.data

上面的程序将生成以下输出。

array([ 2., 0., 2., 0.])

使用稀疏图的字梯

单词阶梯是刘易斯·卡洛尔(Lewis Carroll)发明的游戏，其中单词通过在每个步骤中更改单个字母来链接。例如-

APE→APT→AIT→BIT→大→BAG→MAG→MAN

在这里，我们从“ APE”到“ MAN”经过七个步骤，每次更改一个字母。问题是-我们可以使用相同的规则在这些词之间找到更短的路径吗?该问题自然地表示为稀疏图问题。节点将对应于单个单词，并且我们将在最多相差一个字母的单词之间创建连接。

获取单词列表

首先，当然，我们必须获得有效单词的列表。我正在运行Mac，Mac在以下代码块中指定的位置具有单词词典。如果您使用的是其他体系结构，则可能需要进行一些搜索才能找到系统词典。

wordlist = open('/usr/share/dict/words').read().split()
print len(wordlist)

上面的程序将生成以下输出。

235886

现在，我们要查看长度为3的单词，因此让我们只选择长度正确的单词。我们还将消除以大写字母(专有名词)开头或包含非字母数字字符(例如撇号和连字符)的单词。最后，我们将确保所有内容均使用小写字母，以便稍后进行比较。

word_list = [word for word in word_list if len(word) == 3]
word_list = [word for word in word_list if word[0].islower()]
word_list = [word for word in word_list if word.isalpha()]
word_list = map(str.lower, word_list)
print len(word_list)

上面的程序将生成以下输出。

1135

现在，我们有了一个1135个有效的三个字母的单词的列表(确切的数字可能会根据所使用的特定列表而有所变化)。这些单词中的每一个都将成为我们图中的一个节点，并且我们将创建连接与每对单词相关联的节点的边，它们之间仅相差一个字母。

import numpy as np
word_list = np.asarray(word_list)

word_list.dtype
word_list.sort()

word_bytes = np.ndarray((word_list.size, word_list.itemsize),
   dtype = 'int8',
   buffer = word_list.data)
print word_bytes.shape

上面的程序将生成以下输出。

(1135, 3)

我们将使用每个点之间的汉明距离来确定连接了哪些单词对。汉明距离测量的是两个向量之间的条目分数，它们不同：汉明距离等于1 / N1 / N的任意两个单词，其中NN是在单词阶梯中连接的字母数。

from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from scipy.sparse import csr_matrix
hamming_dist = pdist(word_bytes, metric = 'hamming')
graph = csr_matrix(squareform(hamming_dist < 1.5 / word_list.itemsize))

在比较距离时，我们不使用相等性，因为这对于浮点值可能不稳定。只要单词列表的两个条目都不相同，不等式就会产生所需的结果。现在，我们的图形已建立，我们将使用最短路径搜索来找到图形中任何两个单词之间的路径。

i1 = word_list.searchsorted('ape')
i2 = word_list.searchsorted('man')
print word_list[i1],word_list[i2]

上面的程序将生成以下输出。

ape, man

我们需要检查这些匹配项，因为如果单词不在列表中，则输出中将出现错误。现在，我们所需要做的就是在图中找到这两个索引之间的最短路径。我们将使用dijkstra的算法，因为它允许我们仅找到一个节点的路径。

from scipy.sparse.csgraph import dijkstra
distances, predecessors = dijkstra(graph, indices = i1, return_predecessors = True)
print distances[i2]

上面的程序将生成以下输出。

5.0

因此，我们看到“猿”与“人”之间的最短路径仅包含五个步骤。我们可以使用算法返回的前辈来重建此路径。

path = []
i = i2

while i != i1:
   path.append(word_list[i])
   i = predecessors[i]
   
path.append(word_list[i1])
print path[::-1]i2]

上面的程序将生成以下输出。

['ape', 'ope', 'opt', 'oat', 'mat', 'man']