美术馆问题

问题背景

美术馆问题（Art Gallery Problem）是一个经典的计算几何问题，其目的是找到一个最小的凸多边形来囊括一个给定的多边形内的所有点。美术馆问题在计算几何及计算机图形学领域有着重要的应用，如机器视觉、计算机辅助设计等。

问题描述

给定一个多边形P，找到一个最小的凸多边形A，使得A的顶点都在P的边界上，并且A完全覆盖P内部的所有点。

解决方案

目前已经有很多解决美术馆问题的算法，常见的有：

三角剖分法

将多边形P进行三角剖分，得到若干个三角形，然后取这些三角形的重心作为凸多边形A的顶点。这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

可视图法

对于任意一个点，我们可以找到其能看到多边形上的一条边，这条边将多边形P分成了两部分，我们沿着这条边将问题递归地分别处理这两部分的凸多边形，当只有三个点时，我们可以直接构造凸包。这个算法的时间复杂度为O(n^3)。

Trapezoidal Map法

将多边形P转化为一个 Trapezoidal Map，然后对其中的每个覆盖了P内部的 trapezoid，在它们的上下左右面上各建一个顶点，最后用 Graham Scan 算法求出这些顶点的凸包，即可得到最小的凸多边形。这个算法的时间复杂度为O(n log n)。

总结

美术馆问题是一个经典的计算几何问题，目前已经有很多成熟的算法来解决它。在实际应用中，可以根据具体的问题需求选择合适的算法来解决。