📌  相关文章
📜  衍生品的应用

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:11.949000             🧑  作者: Mango

衍生品的应用

一个函数可以被认为是一台根据特定条件接收输入并产生输出的机器。如果 y 是 x 的函数，则意味着 y 的值取决于 x。这里，x 是自变量，y 是因变量。

函数的表示：y = f(x)。

微分系数

变量 y 相对于 x 的微分系数被定义为 y 的变化与 x 的变化之间的比率，这取决于 x 的变化应该非常小且趋向于零的条件。

数学表示

dy/dx = lim Δx⇢0 Δy / Δx = lim h⇢0 (f(x + h) – f(x)) / h。

Δ x = x 的变化，Δy = y 的变化，h = x 的变化，f(x + h) – f(x) = y 的变化。

衍生品的应用

微分定义为 y 的变化与 x 的变化之比，使得 x 的变化趋于零。导数在数学世界中扮演着非常重要的角色。它们在工程、建筑、经济学和其他几个领域有广泛的应用。衍生品帮助业务分析师准备损益图。

超过一半的物理数学证明是基于导数。衍生品的一些应用如下：

  1. 求曲线在给定点的切线方程和法线方程。
  2. 在给定范围内找到特定函数的最大值和最小值。
  3. 求数量的近似值。
  4. 衍生品可用作比率衡量标准。

衡量一个变量相对于另一个变量的变化率。示例 – 速度 = 距离随时间的变化率。 v = dx/dt。

  • 导数作为变化率的意义。

已知 dy / dx = lim h->0 (f(x + h) – f(x) ) / h，这里 f(x + h) – f(x) 是 y 和 (f( x + h) – f(x) ) / h 是 y 相对于 x 的变化率。这表明，借助导数的概念，我们可以求出任何函数的变化率。让我们借助一个示例来学习这一点。

给定，y= 16 – x 2 。求 y 在 x = 8 处的变化率。

x = 8 时 y 的变化率由 x = 8 时的 dy/dx 给出，

dy/dx = -2 × x [设置 x = 8]

= -16，因此 -16 是答案。

  • 求近似值时导数的意义。

让我们借助一个例子来理解这一点。假设需要找到 √0.037 的近似值。让我们考虑一个函数f(x) = √x

类似地，可以使用微分来找到函数的近似值。

  • 求任何函数的最大值和最小值时导数的意义。

曲线在最大值或最小值处的切线是平行于 x 轴的线。平行于 x 轴的直线的斜率为零。因此，在最大值和最小值处的 dy/dx 的值为零。现在，找到最大值或最小值点的步骤如下：

  1. 求函数的导数。
  2. 将导数与零相等以获得临界点。
  3. 现在求函数的二阶导数。
  • 如果临界点处的二阶导数小于零，则该点为最大值点。
  • 如果临界点处的二阶导数大于零，则该点为最小值点。

示例：求函数2x 3 – 21x 2 + 36x – 20 的局部最大值和局部最小值。

解决方案：

切线和法线

一条与曲线在某一点接触但不通过它的直线，称为曲线在该点的切线。法线是垂直于切线的线。曲线的切线方程如下图所示，

设 y = f(x) 为单值函数，QRLTP 为函数的曲线。 RT 是和弦或直线。 R = (x, y) 的坐标和 T = (x + Δx, y + Δy) 的坐标。直线斜率 = m = (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 ), RT 斜率 = (y+Δy – y) / (x+Δx – x)

= Δy / Δx ⇢ (1)

现在，弦 RT 的方程，Y – y = (RT 的斜率) × (X – x)，x 和 y 是 R 的坐标。

Y – y = (Δy / Δx) × (X – x) ⇢ (2),

RT 的斜率 = Δy / Δx。

现在，如果点 T 逐渐向 R 移动并且在时间上与 R 重合，则弦 RT 将自身转换为切线 MRLN。这发生在 Δx 趋于零时。因此等式 2 变为：

切线 MRLN = lim Δx ⇢ 0 (Y – y) = (Δy / Δx) × (X – x) 的方程，这可以写成，

(Y – y) = lim Δx ⇢ 0 (Δy / Δx) × (X – x)。

根据导数的定义，

dy/dx = lim Δx ⇢ 0 (Δy / Δx)。

因此，正切 MRLN 方程为：(Y – y) = dy/dx × (X – x)。这就是我们如何使用微分的概念来找到曲线的切线方程。曲线的法线垂直于曲线的切线。

众所周知，法线曲线垂直于切线，因此，

法线斜率 × 切线斜率 = -1。

设法线的斜率为m。我们知道切线的斜率 = dy/dx。所以，

m × dy/dx = -1。

m = – dx/dy。

因此，在 R 处曲线的法线方程由下式给出，

(Y – y) = (-dx/dy) × (X – x)，-dx/dy = 法线斜率。

因此，导数的概念被用于寻找曲线在给定点的切线和法线方程。

示例问题

问题 1：求在点 (3, 6) 处具有方程 x 2 + y 2 = a 2的圆的切线方程和法线方程。

解决方案：

问题 2：求方程 (x 2 / a 2 ) + (y 2 / b 2 ) = 1 在一点 (x 1 , y 1 ) 的椭圆的切线方程。

解决方案：

问题 3：求一条曲线的法线方程，方程 x 2 + y 2 – 2 × x – 10 × y + 16 = 0 在点 (2, 2)。

解决方案：

问题 4：求抛物线的切线方程，方程 y 2 = 4 × a × x 在点 (x 1 , y 1 )。

解决方案：

问题 5：求方程 4 × x 2 + 9 × y 2 = 72 在点 (3, 2) 处的切线方程。

解决方案：