两个凸多边形之间的切线

两个凸多边形之间的切线是指连接两个凸多边形的两条直线，这两条直线的交点是两个凸多边形在其边界上最近的点。在计算机图形学中，这个问题是非常重要的，因为它是计算多边形之间距离的基础。

距离计算

计算两个凸多边形之间的距离，首先需要找到它们之间的最短距离。最短距离可以通过计算每个多边形上的点到另一个多边形的各个面的距离得到。这个问题可以简化为计算两个凸多边形之间的切线，因为切线就是两个多边形之间的最短距离。

算法实现

一种简单的算法是先找到一个点，然后在另一个多边形上寻找一个最近的点，然后通过连接这两个点得到切线。但是，这种算法的复杂度很高，因为需要枚举所有可能的点组合。

更好的方法是使用旋转卡壳算法，这是一种高效的算法，用于计算凸多边形之间的最短距离。该算法的基本思想是，在一个凸多边形上选取一个点，以该点为基准点，在另一个凸多边形上旋转卡壳，寻找相邻点之间的最短距离。在这个过程中，可以维护一个上凸壳和一个下凸壳。当旋转卡壳旋转完一周时，就可以得到两个凸多边形之间的切线。

下面是一个基于C++实现的旋转卡壳算法的伪代码：

//定义两个凸多边形和它们之间的最短距离
Polygon poly1, poly2;
double min_distance;

//定义旋转卡壳的两个指针
int j = 0;
int k = 0;

//获取起始点，即poly1的最左边或最右边的点
for (int i = 0; i < poly1.size(); i++) {
    if (poly1[i].x < poly1[j].x) {
        j = i;
    }
}

k = find_most_distant_point(poly1[j], poly2);

//开始旋转卡壳
while (true) {
    Point p1 = poly1[(j + 1) % poly1.size()] - poly1[j];
    Point p2 = poly2[(k + 1) % poly2.size()] - poly2[k];
    double cross_product = cross(p1, p2);
    double dot_product = dot(p1, p2);

    //更新最短距离
    double distance = point_to_line_distance(poly1[j], poly2[k], poly2[(k + 1) % poly2.size()]);
    if (distance < min_distance) {
        min_distance = distance;
    }

    if (cross_product >= 0) {
        if (dot_product > 0) {
            k = (k + 1) % poly2.size();
        } else {
            j = (j + 1) % poly1.size();
        }
    } else {
        if (dot_product > 0) {
            j = (j + 1) % poly1.size();
        } else {
            k = (k + 1) % poly2.size();
        }
    }

    //检查是否完成一周旋转卡壳
    if (j == 0 && k == 0) {
        break;
    }
}

//返回两个凸多边形之间的最短距离
return min_distance;

伪代码中的find_most_distant_point函数是一个辅助函数，用于寻找在poly2中与给定点p1最远的点。其实现可以使用一个暴力搜索，也可以使用一个二分查找算法，复杂度为O(logN)。

总结

计算两个凸多边形之间的切线是计算凸多边形之间距离的基础，在计算机图形学中具有广泛的应用。旋转卡壳算法是计算凸多边形之间最短距离的一种高效算法，它可以用于计算两个凸多边形之间的切线，时间复杂度为O(N)。因此，在实际应用中，旋转卡壳算法可以帮助我们更快地计算两个凸多边形之间的几何关系。