国际空间研究组织 | ISRO CS 2013 |问题 18

这是一道计算机科学和数学知识都要求灵活运用的问题，旨在考察程序员的编程能力和解决问题的能力。

问题描述

给定一个正整数 $n$，计算满足下列要求的序列的数量：

序列由 $1$ 到 $n$ 的整数组成。

每个整数恰好出现一次。

相邻两个数间的差值的绝对值不大于 $1$。

示例

对于 $n=2$，序列只有 $1,2$ 或 $2,1$ 两种情况，所以答案为 $2$。

对于 $n=3$，序列可以是 $1,2,3$ 或 $2,1,3$ 或 $2,3,1$，所以答案为 $3$。

解法

这个问题可以通过动态规划解决。令 $d_{i,j}$ 表示以 $j$ 结尾的长度为 $i$ 的序列的数量。根据题目的要求，我们有以下转移方程：

$$d_{i,j} = \sum_{k=j-1}^{j+1}{d_{i-1,k}}$$

其中 $d_{1,j}=1$。因为长度为 $1$ 的序列只有一种。

最终的答案是所有长度为 $n$ 的序列的数量之和：$\sum_{j=1}^{n}{d_{n,j}}$。

代码实现

下面是 Dynamic Programming 算法的 Python 代码实现：

def count_sequences(n: int) -> int:
    # 初始化
    d = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for j in range(1, n+1):
        d[1][j] = 1

    # 动态规划
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            for k in range(j-1, j+2):
                if k >= 1 and k <= n:
                    d[i][j] += d[i-1][k]

    # 计算答案
    ans = sum(d[n][1:n+1])
    return ans

该函数接受一个正整数 $n$，返回符合题目要求的序列数目。