国际空间研究组织 | ISRO CS 2013 |问题 9

问题描述

有一个长度为N的整数序列A，要求从中选择出两个不相交的区间使得这两个区间的和最大。注意这里的两个区间可以是不连续的。例如，对于序列[1, 3, -2, 4, -5, 8, 4]，选择第一个区间[1,3]和第二个区间[4,-5,8,4]可以获得最大的和为15。

输入格式

第一行是一个整数T，表示测试数据的数量。

每个测试数据的第一行是一个整数N。

接下来一行是N个整数A[0]到A[N-1]，表示输入序列。

输出格式

对于每个测试数据，输出一个整数，表示选择的两个区间的和的最大值。

示例输入

2
5
5 -5 10 -5 20
7
10 -5 15 -25 5 20 10

示例输出

30
35

解题思路

这道题的解题思路是使用动态规划。我们在计算最大的两个不相交的区间的和时，可以在区间[0,i]中最大的区间和s1和区间[i+1,N-1]中最大的区间和s2之间取最大值。

具体而言，我们使用两个数组s1和s2，分别记录区间[0,i]和区间[i+1,N-1]中最大的区间和。则我们可以首先通过正常的动态规划算法完成对数组s1和s2的初始化。之后，对于一个特定的i，求其对应的最大和就是max(s1[i],s2[i+1])。最终的最大和就是所有i对应的最大和中的最大值。

代码实现

def max_sum_two_subarrays(nums, k):
    # 预处理前缀和
    prefix_sum = [0] * (len(nums) + 1)
    for i, n in enumerate(nums):
        prefix_sum[i + 1] = prefix_sum[i] + n

    # 计算区间[0, i]和区间[i+k, len(nums)-1]的最大子数组和
    s1 = [0] * len(nums)
    s2 = [0] * len(nums)
    max_sum = float('-inf')
    for i in range(k - 1, len(nums)):
        # 计算区间[0, i]的最大子数组和
        if i == k - 1:
            s1[i] = prefix_sum[k]
        else:
            s1[i] = max(s1[i - 1], prefix_sum[i + 1] - prefix_sum[i - k + 1])

        # 计算区间[i+k, len(nums)-1]的最大子数组和
        if i == len(nums) - 1:
            s2[i] = prefix_sum[len(nums)] - prefix_sum[i - k + 1]
        else:
            s2[i] = max(s2[i + 1], prefix_sum[i + k + 1] - prefix_sum[i + 1])

        # 更新最大和
        max_sum = max(max_sum, s1[i] + s2[i])

    return max_sum