国际空间研究组织 - ISRO CS 2013 - 问题 3

本题是一道计算机科学问题，要求程序员解决给定的函数和条件，输出指定的结果。

题目描述

给定两个正整数 $M$ 和 $N$ ，找到一个 $N$ 位的正整数，将其所有数字相加后得到的结果等于 $M$ 。这个 $N$ 位的正整数必须包含 $0-9$ 数字中的每一个数字至少一次。

输入格式

输入文件包含两个整数 $M$ 和 $N$，其中 $M$ ( $0 \le M \le 81$ ) 代表数位和，$N$ 代表要求的正整数的位数。

输出格式

输出一个 $N$ 位的正整数，满足题目给定的条件。数字之间没有空格或其他字符，仅以换行符结束。

如果无法找出满足条件的正整数，则输出 -1。

样例输入

45 5

样例输出

16749

提示

对于样例输入，正整数 16749 是满足要求的一组解。

解题思路

这是一道组合数学问题。首先分析题意，要求选出 $n$ 个数，每个数只能在 $0-9$ 的范围内选择，使它们的和等于 $m$ 。因为要求每个数字都必须被选中，因此需要将预先分配的 $n$ 个数 $1-9$ 相加得到一个数 $m^\prime$，并且需要将 $m-m^\prime$ 的和分配给 $n$ 个数字中的任意一个。这样可以保证每个数字都至少出现一次。

如何构建 $m^\prime$ 呢？先考虑将预先分配的 $n$ 个数 $1-9$ 尽可能均分到 $m$ 中。对于 $m$ 和 $n$ 的值，不可能有严格的解决方案，因此需要进行一些调整。可以从最开始的数字上不断调整，使其在满足两种条件的同时逼近 $m$。此时可能会遇到两种情况：

1. $m^\prime$ 与 $m$ 相等。

2. $m^\prime$ 与 $m$ 不相等且 $m-m^\prime$ 可以被分配到位数较小的 $n$ 中。

如果出现第一种情况，则直接将余下的 $m-m^\prime$ 分配给 $n$ 位数字中不存在的位数，这样漏掉的数字就可以被填补，得到满足要求的数字。如果是第二种情况，则需要改变 $m^\prime$ 的值，并重复上述操作，直到找到一个满足要求的数字，或者无法找到这样的数字。

代码实现

def get_number(m, n):
    digits = set(range(10))
    if m == 0:
        return -1
    if n == 1:
        return -1 if m > 9 else m
    div, rem = divmod(m, n)
    ans = ['0'] * n
    if div > len(digits) - 1 or (div == len(digits) - 1 and rem > 0):
        div, rem = div - 1, rem + 10
    pos = 0
    if div > 0:
        for i in range(div):
            ans[pos] = str(9)
            pos += 1
    if rem > 0:
        ans[pos] = str(rem)
        pos += 1
    while pos < n:
        for digit in range(10):
            if digit not in digits:
                continue
            if pos == n - 1 and digit == 0:
                continue
            ans[pos] = str(digit)
            pos += 1
            digits.discard(digit)
            break
        else:
            return -1
    return ''.join(ans)

该函数采用贪心算法来解决这个问题。在第一次循环中，将 $n$ 个数字等分到 $m$ 中，如果有剩余，则将剩余部分加到第一个数字中。然后，将数字填充到一个新字符串中，这些数字必须以 0 结尾，否则这不是一个数字。因此，在填充时应确保剩余的一个数字中不填充数字 0。如果无法找到这样的数字，函数返回 -1。