图论-着色

图论中的着色是指给图中的每个节点分配一个颜色，使得相邻节点的颜色不相同。着色在许多应用中都有非常重要的作用，比如地图着色、调度问题等等。

着色问题的解法

贪心算法

着色问题最简单的解法是贪心算法。具体来说，我们可以从任意一个节点开始，给该节点着一种颜色，再递归地对相邻节点着不同的颜色，直到所有节点都被着色。

贪心算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 表示节点的数目。

深度优先搜索

另一种解法是使用深度优先搜索。具体来说，我们可以从任意一个节点开始，给该节点着一种颜色，并标记该节点已被访问。接着，递归地对其相邻未访问过的节点着不同的颜色。若发现图中存在无法着色的情况，则需要回溯，重新尝试其他颜色。

深度优先搜索的时间复杂度也是 $O(n^2)$，不过它通常比贪心算法更快。同时，它的实现也更加灵活，可以根据实际情况进行调整。

着色问题的应用

地图着色

将地图划分为若干个区域，每个区域都着一种颜色，使得相邻区域的颜色不相同。这可以用来解决区域分配、旅游线路等问题。

调度问题

将任务划分为若干个阶段，并分配给不同的处理器。每个处理器同时只能处理一个任务，且同一阶段的任务不能分配给同一个处理器。这可以用来解决生产调度、机房调度等问题。

示例代码

使用深度优先搜索实现着色问题的代码片段如下：

def dfs(nodes, colors, cur, color):
    """
    nodes: 存储所有节点的列表
    colors: 存储每个节点的颜色的字典
    cur: 当前所在的节点
    color: 当前着色方案
    """
    if cur == len(nodes):
        return True  # 所有节点都已着色，返回True
    for c in colors[cur]:
        valid = True
        for neigh in nodes[cur]:
            if neigh < cur and colors[neigh] == c:  # 检查相邻节点的颜色
                valid = False
                break
        if valid:
            colors[cur] = c
            if dfs(nodes, colors, cur+1, color):
                return True
            colors[cur] = None  # 回溯，取消该节点的着色
    return False


def color(nodes):
    colors = {}
    for i in range(len(nodes)):
        colors[i] = set(range(len(nodes)))  # 初始化所有节点的颜色
    dfs(nodes, colors, 0, colors)
    return colors

以上代码为python的示例实现，其中 nodes 是一个列表，存储了所有节点的相邻节点。 colors 是一个字典，存储了每个节点的颜色，初始值为 None。调用 color 函数即可得到所有节点的颜色方案。