📅  最后修改于: 2020-12-10 03:47:07             🧑  作者: Mango
递归是一个方程或不等式,用较小输入上的函数值描述函数。求解递归关系意味着获得在满足递归的自然数上定义的函数。
例如,递归描述了MERGE SORT程序的最坏情况运行时间T(n)。
有四种解决递归的方法:
替换方法包括两个主要步骤:
例1用代入法求解方程。
我们必须证明它被O渐近约束(log n)。
解:
For T (n) = O (log n)
我们必须证明对于某些常数c
T (n) ≤c logn.
将其放在给定的递归方程中。
例2考虑递归
在T上找到一个渐近边界。
解:
We guess the solution is O (n (logn)).Thus for constant 'c'.
T (n) ≤c n logn
Put this in given Recurrence Equation.
Now,
T (n) ≤2clog +n
≤cnlogn-cnlog2+n
=cn logn-n (clog2-1)
≤cn logn for (c≥1)
Thus T (n) = O (n logn).
这意味着扩展递归并将其表示为n项和初始条件的总和。
例1:考虑重复发生
T (n) = 1 if n=1
= 2T (n-1) if n>1
解:
T (n) = 2T (n-1)
= 2[2T (n-2)] = 22T (n-2)
= 4[2T (n-3)] = 23T (n-3)
= 8[2T (n-4)] = 24T (n-4) (Eq.1)
Repeat the procedure for i times
T (n) = 2i T (n-i)
Put n-i=1 or i= n-1 in (Eq.1)
T (n) = 2n-1 T (1)
= 2n-1 .1 {T (1) =1 .....given}
= 2n-1
例2:考虑重复发生
T (n) = T (n-1) +1 and T (1) = θ (1).
解:
T (n) = T (n-1) +1
= (T (n-2) +1) +1 = (T (n-3) +1) +1+1
= T (n-4) +4 = T (n-5) +1+4
= T (n-5) +5= T (n-k) + k
Where k = n-1
T (n-k) = T (1) = θ (1)
T (n) = θ (1) + (n-1) = 1+n-1=n= θ (n).