复数的极坐标表示

复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 $a + bi$ 的形式。但是，我们也可以使用极坐标来表示复数，这种表示法可以更直观地理解复数的性质。

极坐标的定义

复数 $z=a+bi$ 的极坐标表示为 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r=|z|$ 是复数的模，$\theta$ 是复数的辐角。

我们可以通过下列公式将一个复数 $z$ 转换成极坐标形式：

$$ r = \sqrt{a^2 + b^2} $$

$$ \theta = \begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & a > 0, b \ge 0 \ \arctan(\frac{b}{a}) + 2\pi & a < 0\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & a > 0, b < 0 \ \frac{\pi}{2} & a = 0, b > 0 \ -\frac{\pi}{2} & a = 0, b < 0 \ \text{undefined} & a = 0, b = 0 \end{cases} $$

在程序中使用极坐标

在程序中，我们可以使用数学库中的函数来计算复数的极坐标表示。

Python 中可以使用 cmath 库中的 polar 函数，该函数返回一个长度为 2 的元组，第一个元素是模 $r$，第二个元素是辐角 $\theta$。

import cmath

z = 3 + 4j
r, theta = cmath.polar(z)

print("z = {} 的极坐标表示为：r = {}，θ = {}".format(z, r, theta))

输出结果为：

z = (3+4j) 的极坐标表示为：r = 5.0，θ = 0.93

在 MATLAB 中，可以使用 abs 函数计算模，使用 angle 函数计算辐角。

z = 3 + 4i;
r = abs(z);
theta = angle(z);

fprintf("z = %g 的极坐标表示为：r = %g，θ = %g\n", z, r, theta);

输出结果为：

z = 3+4i 的极坐标表示为：r = 5，θ = 0.93

极坐标与欧拉公式

欧拉公式是一种将三角函数和指数函数联系起来的公式：

$$ e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) $$

利用欧拉公式，我们可以将复数的极坐标表示和直角坐标表示相互转换：

$$ r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cdot e^{i\theta} $$

$$ x + yi = r(\cos\theta+i\sin\theta) = r e^{i\theta} = r \operatorname{cis} \theta $$

其中，$\operatorname{cis} \theta$ 表示极角为 $\theta$，长度为 $1$ 的复数。

利用欧拉公式，可以简单地计算复数的整数次方，为 $z^n = r^n e^{i\theta n}$。

总结

复数的极坐标表示可以更直观地理解复数的性质。我们可以使用数学库中的函数来计算复数的极坐标表示。利用欧拉公式，我们可以将复数的极坐标表示和直角坐标表示相互转换，方便进行复数的计算。