门 | GATE CS Mock 2018年|套装2 |问题19

这是关于2018年GATE计算机科学模拟考试中的第19道问题的介绍。

题目描述

给定一个图，其中每个节点都可能与另一节点之间的边相连，左侧的节点用大写字母表示。节点之间的边可以是有向的或无向的。我们定义一个门以及一个起始节点，这个门只能通过以下方式之一才能抵达：从起始节点离开，进入门，或从门出去，或从门进入另一个节点。你需要编写一个程序，找出在从起始节点出发时可以最大化到达触及的最大节点数的门，并打印该门的名称。在平局的情况下，请打印按字典顺序排列的门名称。在没有门的情况下，打印 NOT POSSIBLE。

以下是程序的输入格式：

第1行有一个整数T,表示测试数据的组数。

每个测试用例的第1行，给出所有可能的边的数量n和起始节点的名称 s。考虑到如何给一对节点之间的边编码，我们将把字符串“A->B”解释为方向为从A到B的单向边，例如AB的边是“A->B”。

在下面n行中，每行给出一个有向或无向边的信息。边的格式是"X Y D/N"，“X”和“Y”是两个节点的名称，如果D / N为“D”，则边是单向的;如果该值为“N”，则表示边是双向的。

以下是程序的输出格式：

对于每个测试用例，如果没有符合条件的门，请输出NOT POSSIBLE，否则请按字典顺序输出找到的门的名称。

解决方案

题目要求找到在从起始节点出发时可以最大化到达触及的最大节点数的门，并打印该门的名称。在此我们可以通过深度优先搜索(DFS)来解决这个问题。设当前的起始节点为s，初始时，所有节点都未被访问且未被更新(visited=False,updated=False)。在对DFS递归函数中遍历节点时，标记节点为访问，递归调用DFS，并将每个节点的visited属性设置为True。当递归DFS返回时，将visited属性设置回False。

在搜索过程中，我们需要维护两个集合：updated和nodes。upadted集合存储已更新的节点，nodes集合存储已经访问的节点，并验证该节点是否可以到达门。如果一个节点可以到达门，那么我们将其更新并将其添加到更新集合中。当遍历图的所有节点后，我们可以在updated集合中找到最大数量的max值以及名称。注意：如果有多个最大数量，我们还需要按字典顺序打印。

代码实现

def dfs(nodes, graph, node, updated):
    nodes.add(node) #加入节点
    updated.add(node) #更新节点
  
    if node not in graph: #如果该节点没有边是下一个访问的
        return
  
    for neighbor in graph[node]:
        if neighbor not in updated: #如果该节点已访问过，跳过
            dfs(nodes, graph, neighbor, updated)
    return

def main():

    T = int(input())
    for _ in range(T):
        n, s = input().split()
        graph = {} #构造无向图
        for i in range(int(n)):
            node1, node2, dn = input().split()
            if node1 not in graph:
                graph[node1] = set()
            if node2 not in graph:
                graph[node2] = set()
  
            if dn == 'D': #单向边
                graph[node1].add(node2)
            else: #双向边
                graph[node1].add(node2)
                graph[node2].add(node1)
            

        nodes = set() #节点集合
        updated = set() #更新集合
        maxNodes = 0 #最大节点数
        maxNodeName = None #最大节点名称
        for node in graph:
            if node not in updated:
                nodes.clear() #节点清空
                dfs(nodes, graph, node, updated)
                if len(nodes) > maxNodes: #获取节点数最大值
                    maxNodeName = node
                    maxNodes = len(nodes)
                elif len(nodes) == maxNodes: #如果节点数相等，按字典顺序打印
                    maxNodeName = sorted([maxNodeName, node])[0]

        if maxNodes == 0: #打印结果
            print('NOT POSSIBLE')
        else:
            print(maxNodeName)
if __name__ == '__main__':
    main()

时间和空间复杂度

该算法的时间复杂度是O (|V| + |E|)，其中| V |是节点数，| E |是边数。对于每个节点，我们只能访问0次，因此是O（| V |）。在几乎所有情况下，输入的边的数量小于| V |^{2} < | V | |\ E\ |。因此时间复杂度为O（| V | + | E |）。但是，该算法的空间复杂度为O（| V |），存储我们在遍历过程中访问过的节点。

结论

通过使用DFS进行遍历，我们就可以找到从起始节点出发，在能够到达触及的最大节点数的门。这是一个靠谱的解决方案，同时，该算法的复杂度非常低，所以可以有效地解决这个问题。