题目介绍

这是一道经典的编程题目，也是一道很好的算法题目。题目名称为“门”，在计算机科学领域中属于模拟算法的范畴，需要使用数据结构和基本算法进行求解。

这道题目来自于北京大学第七届信息学奥赛。该题目要求我们在一个固定大小的二维矩阵中寻找连通块的数量。

细节描述

1. 矩阵中的单元格可能被填充为 0 或 1。
2. 与任何 0 相邻的 1 形成一个连通块。
3. 整个矩阵最多包含10,000个单元格。

输入格式

输入的第一行为两个整数，分别为矩阵的行数和列数。

接下来的n行，每行包含m个由空格隔开的整数，描述了该矩阵的内容。其中0代表未被填充的单元格，1代表被填充的单元格。

输出格式

输出矩阵中形成的连通块的数量。

样例输入

4 5
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1

样例输出

3

解题思路

本题之所以能够成为经典的算法题目，是因为它可以使用多种基本算法和数据结构进行求解。下面我们来介绍一下几种可能的解法。

解法一：深度优先遍历

我们可以使用深度优先遍历（DFS）来寻找连通块。对于每个矩阵中的单元格，我们可以递归地访问相邻的单元格，直到所有相邻的单元格都被访问过。如果访问过的单元格中有填充的单元格，那么我们就找到了一个连通块。我们可以通过标记每个被访问的单元格，避免反复访问同一单元格。

// 伪代码
for i in range(rows):
    for j in range(cols):
        if matrix[i][j] == 1 and visited[i][j] == False:
            dfs(matrix, visited, i, j)
            
def dfs(matrix, visited, row, col):
    visited[row][col] = True
    for dr, dc in [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]:
        nr, nc = row + dr, col + dc
        if 0 <= nr < rows and 0 <= nc < cols and matrix[nr][nc] == 1 and visited[nr][nc] == False:
            dfs(matrix, visited, nr, nc)

解法二：广度优先遍历

另一种寻找连通块的方法是使用广度优先遍历（BFS）。BFS是一种迭代算法，每一次迭代都会访问下一层节点。BFS比DFS更适合用于寻找最短路径，因为它保证第一次访问一个节点时是最短路径。

我们可以从每个填充的单元格开始遍历，将其放入一个队列中。然后，我们依次访问队列中的每个单元格，并将它们的相邻单元格放入队列中。如果队列中有填充的单元格，那么我们就找到了一个连通块。要避免反复访问同一个单元格，我们需要使用visited数组来记录已访问的单元格。

// 伪代码
for i in range(rows):
    for j in range(cols):
        if matrix[i][j] == 1 and visited[i][j] == False:
            bfs(matrix, visited, i, j)
            
def bfs(matrix, visited, row, col):
    queue = [(row, col)]
    visited[row][col] = True
    while queue:
        row, col = queue.pop(0)
        for dr, dc in [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]:
            nr, nc = row + dr, col + dc
            if 0 <= nr < rows and 0 <= nc < cols and matrix[nr][nc] == 1 and visited[nr][nc] == False:
                queue.append((nr, nc))
                visited[nr][nc] = True

解法三：并查集

并查集是一种可并集合数据结构，用于处理不相交的集合。我们可以使用并查集进行连通块的寻找。我们遍历矩阵中的每个填充的单元格，如果该单元格的上方或左方有已填充的单元格，那么我们就将它们合并到同一个集合中，最后计算集合的数量即为连通块的数量。

// 伪代码
for i in range(rows):
    for j in range(cols):
        if matrix[i][j] == 1:
            p = i * cols + j
            if i > 0 and matrix[i-1][j] == 1:
                q = (i-1) * cols + j
                uf.union(p, q)
            if j > 0 and matrix[i][j-1] == 1:
                q = i * cols + j-1
                uf.union(p, q)
                
count = sum([1 for i in range(rows*cols) if uf.find(i) == i])

程序实现

我们可以使用Python来实现上述三种解法。下面是完整的程序实现。代码中的DFS函数实现了DFS解法，BFS函数实现了BFS解法，UnionFind类实现了并查集解法。