如何找到三角形的质心？

三角形由三个边和三个内角组成。质心是指物体的中心。来到三角形的质心，它被定义为三角形所有三个中线的交汇点。三角形的中线定义为从三角形的一侧到另一侧的中点绘制的线。因此，我们可以说中位数是一条从顶点到另一侧的线，并以 1:1 的比例分割。

为了更好地了解中位数，请考虑下图：

从顶点“A”画出的一条线将另一边，即“BC”分成两等份。

因此，BD:DC = 1:1

三角形的质心以 2:1 的比例除以中位数。为了证明质心以 2:1 的比例划分中位数，让我们考虑一个三角形并将其反映在其中一个边上，即如下图所示。其中三角形 ABD 是三角形 ACD 沿边 AD 反射时的反射。

,

ACDB 是一个平行四边形

线 GD = AF 和 AG // FD，因此 AGDF 构成平行四边形

CG = GD, IG // DJ，来自截距定理 CI = IK

IK = KJ, CK:IK = 2:1

因此，这里的质心是 I，它以 2:1 的比例除以中值 CK。

为了找到质心的坐标，它只是一个三角形三个顶点的所有坐标的平均值。让我们把(x1,y1),(x2,y2)和(x3,y3)看作三角形的三个坐标，那么质心的坐标是([x1+x2+x3]/3,[y1+y2+ y3]/3)。

Centroid formula for the triangle is

$\left (\frac{[x1+x2+x3]}{3}, \frac{[y1+y2+y3]}{3}\right)$

示例问题

问题1. 求顶点为A(2,4)、B(2,6)和C(4,6)的三角形的质心，

解决方案：

Given A(2,4), B(2,6) and C(4,6) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3) 

substituting the given values we get ⇒  ([2+2+4]/3, [4+6+6]/3)

⇒ (8/3,16/3)

Hence the centroid for the given vertices is (8/3,16/3).

问题 2. 求顶点为 A(9,4)、B(1,6) 和 C(-2,0) 的三角形的质心，

解决方案：

Given A(9,4), B(1,6) and C(-2,0) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([9+1+-2]/3, [4+6+0]/3)

⇒ (8/3,10/3)

Hence the centroid for the given vertices is (8/3,10/3).

问题 3. 找到顶点为 P(-2,-4)、Q(0,2) 和 R(0,0) 的三角形的质心。

解决方案：

Given P(-2,-4), Q(0,2) and R(0,0) as the vertices of triangle PQR.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([-2+0+0]/3, [-4+2+0]/3)

⇒ (-2/3,-2/3)

Hence the centroid for the given vertices is (-2/3,-2/3).

问题 4. 找到顶点为 A(2,6)、B(9,4) 和 C(6,15) 的三角形的质心

解决方案：

Given A(2,6), B(9,4) and C(6,15) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([2+9+6]/3, [6+4+15]/3)

⇒ (17/3,25/3)

Hence the centroid for the given vertices is (17/3,25/3).

问题 5. 找到顶点为 A(20,0)、B(2,0) 和 C(11,6) 的三角形的质心

解决方案：

Given A(20,0), B(2,0) and C(11,6) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([20+2+11]/3, [0+0+6]/3)

⇒ (33/3,6/3)

Hence the centroid for the given vertices is (11,2).