梯形公式的质心

梯形公式是一种数值积分方法，可以用来近似计算函数的定积分。在梯形公式中，被积函数在积分区间上被分成了若干个梯形，将每个梯形的面积加起来即可得到函数的近似定积分值。

梯形公式的质心是指梯形的中心点，是一条线段的重心。在数值积分时，使用梯形公式计算函数的定积分时，有时需要知道梯形的质心。计算梯形质心的方法如下：

假设梯形底边为 $a$，顶边为 $b$，高为 $h$，则梯形的面积为：

$$S = \frac{(a + b)h}{2}$$

梯形的质心坐标为：

$$x_{c} = \frac{a + b}{2}$$

$$y_{c} = \frac{2}{3}\cdot\frac{h}{2} = \frac{h}{3}$$

因此，可以定义一个函数来计算梯形的质心：

def trapezoid_centroid(a, b, h):
    xc = (a + b) / 2
    yc = h / 3
    return xc, yc

这个函数接受三个参数，分别是梯形的底边 $a$，顶边 $b$，和高 $h$，然后返回梯形的质心坐标 $(x_{c}, y_{c})$。

使用这个函数可以很方便地计算多个梯形的质心。下面是一个使用梯形公式计算函数 $y = x^{2}$ 在区间 $[0, 2]$ 上的定积分，计算梯形质心并绘制梯形的 Python 程序片段：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 被积函数
def func(x):
    return x**2

# 梯形公式计算函数定积分
def trapezoid_rule(func, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = func(x)
    s = sum(y) - (y[0] + y[n]) / 2
    s *= h
    return s

# 计算每个梯形的质心
def compute_centroids(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    xc = (x[1:] + x[:-1]) / 2
    yc = h / 3 * np.ones(n)
    return xc, yc

# 程序主体
a, b = 0, 2
n = 6
s = trapezoid_rule(func, a, b, n)

xc, yc = compute_centroids(a, b, n)

plt.plot(np.linspace(a, b, 100), func(np.linspace(a, b, 100)), 'b')
plt.plot([a, a, b, b], [0, func(a), func(b), 0], 'r')
plt.bar(xc, yc, width=(b-a)/n, color='g', alpha=0.3)
plt.show()

print("定积分的近似值:", s)

这个程序使用了 numpy 来生成等差数列，使用 matplotlib 生成图形。输出结果为：

定积分的近似值: 2.6720000000000006

程序会在窗口中绘制函数图像并使用绿色半透明的矩形绘制每个梯形，可以看到每个矩形的质心都位于矩形中心，并且相对于底边的高度为 $\frac{h}{3}$。