门|门CS 2008 |第 43 题

这是一道有趣而又具有挑战性的编程题目。它来自于门户网站门|门的CS 2008竞赛。题目要求实现一个门的开与关的操作，并在此基础上设计一种算法以判断所有门是否关上。具体要求如下：

题目描述

N扇门围成一圈，每扇门都有一个状态，要么是开着的，要么是关着的。现在有以下两种操作：

1. 对于任意一扇门，将它的状态从开变为关或从关变为开。
2. 对于任意一扇门，使它与相邻的门的状态相同。

基于这两种操作，请你编写一个程序，判断是否存在一种操作方案能够将所有门都关闭。

输入格式

第一行一个整数N表示门的数量。

第二行是一个由0和1组成的字符串，表示初始门的状态。其中0表示关门，1表示开门。

输出格式

如果存在一种操作方案能够将所有门都关闭，则输出Yes，否则输出No。

样例

输入样例1

3
011

输出样例1

No

输入样例2

5
10010

输出样例2

Yes

解法说明

要解决这个问题，有很多种方法，我们这里介绍一种基于异或运算的解法。

异或运算是一种按位运算，两个数的值不同时结果为1，相同则为0。我们可以将门的状态视为一个二进制数的某一位，开门表示这一位为1，关门表示这一位为0。如果对某个门执行第一种操作，就相当于对这个二进制数对应的位执行一次0和1的翻转操作，也就是进行异或运算。如果对某个门执行第二种操作，就相当于将这个二进制数按位与1-左移操作的结果进行异或运算。

根据以上分析，我们得到一个简单的观察：如果有一个门的状态与相邻两扇门的状态都不同，那么这三扇门之中至少有两扇是打开的。因此，我们要使所有门都关闭，就必须保证每扇门的状态与相邻两扇门的状态相同。

根据以上观察，我们可以把所有门的状态进行异或运算，得到一个二进制数。如果这个数所有位都是0，那么所有门都已经关闭。否则，我们需要对某扇门进行操作，使得这个二进制数至少有一位为0。对这扇门执行第二种操作是没用的，因为最多只能将两个二进制数的其中一个位变成0。因此，我们需要对某扇门执行第一种操作，将它对应的二进制数的某一位进行0-1翻转。这个位的选择很讲究，因为我们要使得翻转操作后的二进制数含有更多的0。我们可以选择原始二进制数从右往左数第一个为1的位进行翻转，这样就能使得翻转操作后的二进制数含有更多的0。

下面是这个算法的python实现：

def solve(n, seq):
    s = int(seq, 2)
    return "Yes" if s == 0 or bin(s ^ (s >> 1)).count('1') <= 1 else "No"

代码非常简洁，只有三行。其中使用了Python内置的int和bin函数来进行二进制数的转化和统计二进制数中1的个数。具体实现过程中，我们首先将字符串转化为一个整数，然后计算这个整数与右移后的这个整数的异或结果所含有1的个数。如果这个数小于等于1，则我们认为所有门都可以关闭。注意，我们还需要判断初始时所有门的状态是否已经是关闭的，如果是，直接输出Yes即可。