每当讨论集时，下一个问题就是集元素之间的关系。同一集合的对象之间或两个或更多集合的对象之间可能存在关系。

定义和属性

从集合x到y的二元关系R(写为$ xRy $或$ R(x，y)$)是笛卡尔乘积$ x xy的子集。如果G的有序对相反，则关系也将改变。

通常，集合$ A_1，\ dots，\和\ A_n $之间的n元关系R是n元乘积$ A_1 \ times \ dots \ times A_n $的子集。在这种情况下，关系R的最小基数为零，最大为$ n ^ 2 $。

单个集合A上的二进制关系R是$ A×A $的子集。

对于分别具有基数m和n的两个截然不同的集合A和B，从A到B的关系R的最大基数为mn 。

域和范围

如果有两个集合A和B，并且关系R具有阶对(x，y)，则-

• R的域Dom(R)是集合$ \ lbrace x \：| \：(x，y)\ in R \：for \：some \：y \：in \：B \ rbrace $

• R的范围Ran(R)是集合$ \ lbrace y \：| \：(x，y)\ in R \：for \：some \：x \：in \：A \ rbrace $

例子

设$ A = \ lbrace 1，2，9 \ rbrace $和$ B = \ lbrace 1，3，7 \ rbrace $

• 情况1-如果关系R’等于’，则$ R = \ lbrace(1，1)，(3，3)\ rbrace $

  Dom(R)= $ \ lbrace 1，3 \ rbrace，Ran(R)= \ lbrace 1，3 \ rbrace $

• 情况2-如果关系R’小于’，则$ R = \ lbrace(1、3)，(1、7)，(2、3)，(2、7)\ rbrace $

  Dom(R)= $ \ lbrace 1，2 \ rbrace，Ran(R)= \ lbrace 3，7 \ rbrace $

• 情况3-如果关系R’大于’，则$ R = \ lbrace(2，1)，(9，1)，(9，3)，(9，7)\ rbrace $

  Dom(R)= $ \ lbrace 2，9 \ rbrace，Ran(R)= \ lbrace 1，3，7 \ rbrace $

使用图表示关系

可以使用有向图表示关系。

图中的顶点数等于已从中定义该关系的集合中的元素数。对于关系R中的每个有序对(x，y)，从顶点’x’到顶点’y’会有一条有向边。如果存在一个有序对(x，x)，则顶点’x’上将存在自环。

假设在集合$ S = \ lbrace $ 1，2，3 \ rbrace $上有一个关系$ R = \ lbrace(1，1)，(1,2 ,,(3，2)\ rbrace $，可以是由下图表示-

关系类型

• X和Y或E上的集合之间的空关系是空集合$ \ emptyset $

• 集合X和Y之间的完全关系是集合$ X \ times Y $

• 集合X上的标识关系是集合$ \ lbrace(x，x)| x \ in X \ rbrace $

• 关系R的逆关系R’定义为：-$ R’= \ lbrace(b，a)| (a，b)\在R \ rbrace $中

  示例-如果$ R = \ lbrace(1、2)，(2、3)\ rbrace $，则$ R’$将是$ \ lbrace(2、1)，(3、2)\ rbrace $

• 如果$ \ forall a \ in A $与(aRa保持)相关，则集合A上的关系R称为自反

  示例-集合$ X = \ lbrace a，b \ rbrace $的关系$ R = \ lbrace(a，a)，(b，b)\ rbrace $是自反的。

• 如果A $中的$ a \与a不相关(aRa不成立)，则集合A上的关系R称为Irreflexive 。

  示例-集合$ X = \ lbrace a，b \ rbrace $的关系$ R = \ lbrace(a，b)，(b，a)\ rbrace $是不自反的。

• 如果$ xRy $暗示$ yRx $，$ \ forall x \ in A $和$ \ forall y \ in A $，则集合A上的关系R称为对称。

  示例-关系$ R = \ lbrace(1，2)，(2，1)，(3，2)，(2，3)\ rbrace $ on set $ A = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $是对称的。

• 如果$ xRy $和$ yRx $暗示$ x = y \：\ forall x \ in A $和$ \ forall y \ in A $，则集合A上的关系R称为反对称。

  示例-与N | \：x \ leq y \ rbrace $的关系$ R = \ lbrace(x，y)\是反对称的，因为$ x \ leq y $和$ y \ leq x $意味着$ x = y $。

• 如果$ xRy $和$ yRz $暗示$ xRz，\ forall x，y，z \ in A $，则集合A上的关系R称为“传递” 。

  示例-关系$ R = \ lbrace(1，2)，(2，3)，(1，3)集合$ A = \ lbrace 1，2，3 \ rbrace $是传递的。

• 如果关系是自反的，对称的和可传递的，则它是等价关系。

  示例-关系$ R = \ lbrace(1，1)，(2，2)，(3，3)，(1，2)，(2,1)，(2,3)，(3,2) ，(1,3)，(3,1)\ set上的\ rbrace $ = = lbrace 1，2，3 \ rbrace $是等价关系，因为它是自反的，对称的和可传递的。