统计-间隔估计 - 芒果文档

📌 相关文章

📜 统计-间隔估计

📅 最后修改于: 2021-01-23 06:40:30 🧑 作者: Mango

间隔估计是使用样本数据来计算未知总体参数的可能(或可能)值的间隔，这与点估计(单个数)相反。

式

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

哪里-

问题陈述：

假设某个学生测量某种液体的沸腾温度，则在6个不同的液体样本上观察到102.5、101.7、103.1、100.9、100.5和102.2的读数(以摄氏度为单位)。他计算出样本平均值为101.82。如果他知道此过程的标准偏差为1.2度，那么置信水平为95％时，总体均值的区间估计是多少?

解：

学生计算出沸腾温度的样本平均值为101.82，标准差为$ {\ sigma = 0.49} $。 95％置信区间的临界值为1.96，其中$ {\ frac {1-0.95} {2} = 0.025} $。未知平均值的95％置信区间。

$ {=((101.82-(1.96 x 0.49))，(101.82 +(1.96 x 0.49)))\\ [7pt] \ =(101.82-0.96，101.82 + 0.96)\\ [7pt] \ =( 100.86，102.78)} $

随着置信度的降低，相应间隔的大小将减小。假设学生对沸腾温度的90％置信区间感兴趣。在这种情况下，$ {\ sigma = 0.90} $和$ {\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $。此级别的临界值等于1.645，因此90％的置信区间为

$ {=((101.82-(1.645 \ times 0.49))，(101.82 +(1.645 \ times 0.49)))\\ [7pt] \ =(101.82-0.81，101.82 + 0.81)\\ [7pt] \ =( 101.01，102.63)} $

样本数量的增加将减少置信区间的长度，而不会降低置信度。这是因为标准偏差随着n的增加而减小。

区间估计的误差裕度$ {m} $定义为从样本平均值中增加或减去的值，该值确定区间的长度：

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

假设在上面的示例中，学生希望95％的置信度下的误差范围等于0.5。将适当的值代入$ {m} $的表达式中，并求解n即可得出计算结果。

$ {n = {(1.96 \ times \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

要获得平均长度小于1度的平均沸点的95％区间估计，学生将必须进行23次测量。