图中的最大和最小孤立顶点

在图论中，孤立顶点（Isolated Vertex）指的是一个没有与它相邻的点的顶点。即，它没有边连接到图中的其它节点。在一个图中，最大孤立顶点是指与其他节点都没有连边的点中，度数最大的点，最小孤立顶点则是度数最小的点。

实现

寻找最大和最小孤立顶点的实现可以通过遍历所有节点，在每个节点上检查与它相邻的节点数，找到最大值和最小值的顶点。

以下是一个Python函数，它返回一个图的最大和最小孤立顶点：

from typing import List, Tuple

def isolated_vertices(adjacency_matrix: List[List[int]]) -> Tuple[List[int], List[int]]:
    """
    :param adjacency_matrix: 邻接矩阵
    :return: 最大和最小孤立顶点
    """
    n = len(adjacency_matrix)
    max_degree, min_degree = float('-inf'), float('inf')
    max_isolated_vertices, min_isolated_vertices = [], []

    for i in range(n):
        degree = sum(adjacency_matrix[i])
        if degree == 0:
            continue

        if degree > max_degree:  # 更新最大孤立顶点
            max_degree = degree
            max_isolated_vertices = [i]
        elif degree == max_degree:
            max_isolated_vertices.append(i)

        if degree < min_degree:  # 更新最小孤立顶点
            min_degree = degree
            min_isolated_vertices = [i]
        elif degree == min_degree:
            min_isolated_vertices.append(i)

    return max_isolated_vertices, min_isolated_vertices

复杂度

遍历了一次邻接矩阵，时间复杂度为$O(V^2)$，其中$V$是节点数。因此，该算法的时间复杂度和空间复杂度均为$O(V^2)$。

总结

寻找最大和最小孤立顶点可以通过遍历所有节点，在每个节点上检查与它相邻的节点数，找到最大值和最小值的顶点。该算法的时间复杂度和空间复杂度均为$O(V^2)$。