门|门 CS 1997 |问题 22

简介

该问题是ACM国际大学生程序设计竞赛的一道历史经典题目，也被称为“开门问题”或“门禁问题”。

问题描述：有n扇门，初始状态都是关闭的。有m个人，每个人都有一个起始门和一个终止门，当一个人经过一扇门时，如果门是关闭状态，则打开它，如果门是打开状态，则关闭它。当一个人到达终止门时，如果终止门是关闭状态，则打开它，如果终止门是打开状态，则保持不变。请问，是否存在一种顺序，使得所有人都可以顺利通过，并使得最终所有门都是关闭状态。

解法

这道题是典型的图论问题。可以把每扇门看成节点，每个人的起始门和终止门看成边。题目要求所有人最终都能到达自己的终止门，在图中就变成了从起始门到终止门都存在路径。而每次人经过一扇门，相当于对这扇门的状态进行取反。最终要求所有门都是关闭的，也就是说对于每扇门经过两次，状态变回原来的状态。这个操作可以看成是一次取反后再取反，相当于对边进行两次反转，状态变成原来的状态。

所以，题目转化成了对于一个有向图，求是否存在一种方案，使得每条边只被反转两次。这个问题其实就是欧拉路径问题。如果存在欧拉路径，则说明可以找到一种方案，使得所有人都能顺利通过，并使得最终所有门都是关闭状态。如果不存在欧拉路径，则说明无法找到这种方案。

代码实现

经典欧拉路径问题可以用Fleury算法求解，时间复杂度为O(n+m)。具体实现可以参考下面的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 10010;

vector<int> G[N];   // 邻接表表示图
int odd[N];         // 记录每个点的度数

void dfs(int u) {
    while (G[u].size()) {
        int v = G[u].back();    // 取邻接表的最后一个元素
        G[u].pop_back();
        dfs(v);                 // 递归遍历
    }
    cout << u << " ";
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);  // 添加边
        G[v].push_back(u);
        odd[u]++;           // 计算每个点的度数
        odd[v]++;
    }

    // 遍历图，检查是否存在欧拉路径
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (odd[i] % 2 == 1) {
            flag = false;
            break;
        }
    }

    if (flag) {
        dfs(1);     // 从任意一个点开始遍历
    } else {
        cout << "No solution";
    }

    return 0;
}

总结

门|门 CS 1997 |问题 22是一道经典的欧拉路径问题，也是一道非常有趣和具有挑战性的题目。解决这个问题需要对图论和算法有一定的理解和掌握。同时，这道题还能够帮助我们提高编程和算法的能力，增强代码实现的能力和思维逻辑能力。