双SAT是NP完成

背景

SAT问题（布尔可满足问题）是一个经典问题，给定一个布尔表达式，判断是否存在一组布尔变量的值，使得该表达式为真。 SAT问题是NP完全问题。NP问题是一类非常重要的问题，它们的解可以在多项式时间内验证，但目前没有有效的多项式时间算法可以求解。因为这类问题非常困难，所以研究NP问题是理论计算机科学的重要研究方向。

双SAT是两个SAT问题的联合问题，也就是说，给定两个布尔表达式，要求分别为它们找到一组变量的赋值，使得它们至少有一个为真。 双SAT也是一个NP完全问题，我们没有有效的多项式时间算法来解决它。但是，我们可以用多项式时间算法进行NP问题约减（reduction）来将它归约为一个已知的NP完全问题。

程序员需要知道的事情

程序员需要了解布尔表达式的基础知识，常见的逻辑运算符（与、或、非、异或等）以及它们在布尔表达式中用法。 程序员应该知道，如果有两个布尔表达式，分别是E1和E2，它们的双SAT问题可以用下列算法求解：

• 将表达式 E1 转换为 CNF（合取范式）形式，并得到变量列表。
• 将表达式 E2 转换为 CNF（合取范式）形式，并得到变量列表。
• 构造一个新的CNF式子 F，它的变量是E1和E2两个表达式中所有的变量，并连接 E1 和 E2 的 CNF 形式并且在连接后增加一个额外的子句，这个子句强制 E1 和 E2 至少有一个为真。
• 用现有的NP完全问题的求解算法来解决 F。

这个算法的核心思想是将双SAT问题转化为已知的NP完全问题。通过将问题转化为其他已知解决方案的问题，我们可以利用已有的算法来解决问题，从而避免重新创造解决方案的昂贵过程。

def find_assignment(e1, e2):
    # 将E1和E2转换为CNF形式，并得到变量列表
    cnf_e1, var_e1 = e1.to_cnf()
    cnf_e2, var_e2 = e2.to_cnf()
    # 在变量列表上创建一个新变量作为“至少一个真”的约束 
    shared_var = max([var_e1 + var_e2]) + 1  
    # 连接两个CNF形式，添加一个额外条款，强制至少一个为真
    shared_clause = [(var_e1[0], True), (shared_var, False)]
    cnf_f = cnf_e1 + cnf_e2 + [shared_clause]
    # 用现有的NP完全问题的求解算法来解决 F 
    return solve_cnf(cnf_f, var_e1 + var_e2)

总结

双SAT问题是NP完全问题。程序员可以用已有的NP完全问题的求解算法来解决双SAT问题。在实际应用中，程序员可能会遇到其他NP问题，他们同样可以使用上述基于约减的算法来解决这些问题。在算法设计中，约减技术是非常重要和强大的工具，可以将一个问题的复杂度转移为另一个问题的复杂度，使得我们可以利用现有算法来解决这个问题。