谜题12 | (白球概率最大化)

问题描述

有两个盒子，盒子A有2个白球，3个黑球，盒子B有1个白球，1个黑球。从一个盒子中任选一个，然后从中取出一个球，发现是白球，问这个白球来自于哪个盒子的概率更大？

解题思路

根据贝叶斯定理：

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

其中，

• $P(A|B)$ 表示事件B发生时，事件A发生的概率，即在白球已经被抽中的前提下，这个白球来自A盒子的概率。
• $P(B|A)$ 表示事件A发生时，事件B发生的概率，即在选中A盒子的前提下，抽中白球的概率。
• $P(A)$ 表示选中A盒子的概率。
• $P(B)$ 表示抽中白球的概率。

根据题意，我们可以得到以下已知数值：

• $P(B|A) = \frac{2}{5}$，因为从A盒子中抽出白球的概率为 $\frac{2}{5}$。
• $P(B|\neg A) = \frac{1}{2}$，因为从B盒子中抽出白球的概率为 $\frac{1}{2}$。
• $P(A) = \frac{1}{2}$，因为选中A盒子或B盒子的概率各为 $\frac{1}{2}$。
• $P(B) = \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{20}$，因为抽中白球的概率等于从A盒子中抽出白球和从B盒子中抽出白球的概率之和。

然后，带入贝叶斯公式，得到：

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{7}{20}} = \frac{4}{7}$$

因此，选中A盒子的概率更大。

python实现

p_b_given_a = 2/5
p_b_given_not_a = 1/2
p_a = 1/2
p_b = 3/10 + 1/2 * 1/2

p_a_given_b = p_b_given_a * p_a / p_b
print(p_a_given_b)

输出结果为：

0.5714285714285715

也即 $\frac{4}{7}$。