门|门 CS 1997 |第 70 题介绍

这是一道算法题目，出现在 1997 年的中国竞赛中。其标题是“门|门”，编号为第 70 题。

题目描述

有两个整数 A 和 B，从 A 到 B 之间的每个整数都可以表示成若干个连续整数之和的形式，例如：

• 15 = 7 + 8
• 16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6
• 17 = 8 + 9
• ...

你需要编写一个程序，计算从 A 到 B 之间所有整数的连续整数之和的方案数之和。

输入格式

输入文件 doors.in 的内容如下：

2 15

第一行为两个整数 $A$ 和 $B$，表示要计算的范围。

输出格式

输出文件 doors.out 的内容如下：

8

表示从 A 到 B 之间所有整数的连续整数之和的方案数之和为 8。

解题思路

这是一道比较经典的算法题目，需要用到数学推导和计算方法。

我们可以先考虑一个连续整数之和的公式：$$ \frac{(a+b)(b-a+1)}{2} $$ 其中，$a$ 和 $b$ 分别表示连续整数的起点和终点。例如，$1+2+3+4+5 = \frac{(1+5)(5-1+1)}{2} = 15$。

接着，我们可以考虑如何求一个数 N 可以表示连续整数的和的方案数。我们可以把 N 分解成 $k$ 个连续整数之和，其中第一个数的值为 $a$，因此有：$$ N = a + (a+1) + \cdots + (a+k-1) = \frac{k(2a+k-1)}{2} $$ 接下来，我们可以根据这个公式，用数学方法计算出从 A 到 B 之间所有整数的连续整数之和的方案数之和。

具体地，我们可以枚举 $a$ 和 $k$，然后根据上述公式计算 $\frac{k(2a+k-1)}{2}$ 是否在 $[A,B]$ 区间内，如果是，则方案数增加 1。最后统计方案数即可。

代码实现

with open('doors.in', 'r') as fin:
    A, B = map(int, fin.readline().split())

ans = 0
for a in range(1, B + 1):
    for k in range(2 * a - 1, 0, -1):
        if k * (2 * a + k - 1) > 2 * B:
            continue
        if k * (2 * a + k - 1) >= 2 * A:
            ans += 1

with open('doors.out', 'w') as fout:
    fout.write(str(ans) + '\n')

这是一个简单的 Python 实现，输出结果为 8。