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📅 最后修改于: 2023-12-03 14:38:48.964000 🧑 作者: Mango
11类RD Sharma解决方案–第四章角度测量–练习4.1 |套装2
简介
这是一套关于角度测量的练习题解决方案，适用于RD Sharma 11类课程中的第四章。本套解决方案共包含练习4.1中的所有题目，旨在帮助学生较为轻松地掌握角度测量的相关知识。
特点
本套解决方案的特点如下：
- 涵盖全套练习4.1中的所有题目，从易到难逐题解答。
- 给出详尽的解答步骤和图解，易于理解和掌握。
- 涵盖多种类型的题目，涵盖面广，适合不同层次的学生使用。
使用方法
本套解决方案为PDF格式，可以下载后打印进行使用。建议先完整阅读题目，尝试自行解答，再对照解答步骤和图解进行核对和补充。
示例
以下是本套解决方案中的一道题目及其解答的示例。
题目
在图中，$PQ$是一条过点$P$垂直于$x$轴的线，$\angle PRQ = 120^{\circ}$，$ON$是$x$轴上的一点，点$S,T$分别在线段$PQ,RN$上。如果$\angle QRS = \angle PQT$(注意符号)，证明$QT = RS$。
解答
解题思路：
首先根据角度关系进行推导，得出$\angle ONP = 180^{\circ} - \angle QRP$和$\angle QPT = \angle QRS$。然后利用正弦定理进行运算，得到$QT = RS$。
具体步骤：
-
过$R$作$RT \parallel PQ$，交$x$轴于$M$，连接$PM$，则$\bigtriangleup PQR$和$\bigtriangleup PMR$相似，即$\frac{PQ}{PR} = \frac{PM}{PR}$，即$PQ = PM$。
-
显然$\angle PRM = \angle QRM$，又因为$\angle PRQ = 120^{\circ}$，所以$\angle QRM = 60^{\circ}$。
-
因为$\angle NPR = 90^{\circ}$，所以$\angle QRP + \angle ONP = 180^{\circ}$，即$\angle ONP = 180^{\circ} - \angle QRP = 60^{\circ}$。
-
因为$\angle ONP = 60^{\circ}$，所以$\angle QPT = \angle QRS$。
-
根据正弦定理，得到
$\frac{QT}{\sin \angle QTP} = \frac{QP}{\sin \angle QPT}$
$\frac{RS}{\sin \angle RSP} = \frac{RP}{\sin \angle QRS}$
因为$\angle QRS = \angle QPT$，所以$\sin \angle QTP = \sin \angle RSP$。
又因为$PQ = PM$，所以$\frac{QP}{PR} = \frac{PM}{PR}$，即$\frac{QP}{PM} = \frac{PR}{PM}$，即$\frac{QP}{PM} = \frac{PR + PM}{PM}$，即$\frac{QP}{PM} = \frac{QN}{PM}$。
因此，$\frac{QP}{\sin \angle QPT} = \frac{QN}{\sin \angle QTP}$，$\frac{RP}{\sin \angle QRS} = \frac{RN}{\sin \angle RSP}$。
将以上三式代入原式，得到$QT = RS$。
因此，得证$QT = RS$。
代码片段
# 11类RD Sharma解决方案–第四章角度测量–练习4.1 |套装2
## 简介
这是一套关于角度测量的练习题解决方案，适用于RD Sharma 11类课程中的第四章。本套解决方案共包含练习4.1中的所有题目，旨在帮助学生较为轻松地掌握角度测量的相关知识。
## 特点
本套解决方案的特点如下：
- 涵盖全套练习4.1中的所有题目，从易到难逐题解答。
- 给出详尽的解答步骤和图解，易于理解和掌握。
- 涵盖多种类型的题目，涵盖面广，适合不同层次的学生使用。
## 使用方法
本套解决方案为PDF格式，可以下载后打印进行使用。建议先完整阅读题目，尝试自行解答，再对照解答步骤和图解进行核对和补充。
## 示例
以下是本套解决方案中的一道题目及其解答的示例。
### 题目
在图中，$PQ$是一条过点$P$垂直于$x$轴的线，$\angle PRQ = 120^{\circ}$，$ON$是$x$轴上的一点，点$S,T$分别在线段$PQ,RN$上。如果$\angle QRS = \angle PQT$(注意符号)，证明$QT = RS$。
### 解答
解题思路：
首先根据角度关系进行推导，得出$\angle ONP = 180^{\circ} - \angle QRP$和$\angle QPT = \angle QRS$。然后利用正弦定理进行运算，得到$QT = RS$。
具体步骤：
1. 过$R$作$RT \parallel PQ$，交$x$轴于$M$，连接$PM$，则$\bigtriangleup PQR$和$\bigtriangleup PMR$相似，即$\frac{PQ}{PR} = \frac{PM}{PR}$，即$PQ = PM$。
2. 显然$\angle PRM = \angle QRM$，又因为$\angle PRQ = 120^{\circ}$，所以$\angle QRM = 60^{\circ}$。
3. 因为$\angle NPR = 90^{\circ}$，所以$\angle QRP + \angle ONP = 180^{\circ}$，即$\angle ONP = 180^{\circ} - \angle QRP = 60^{\circ}$。
4. 因为$\angle ONP = 60^{\circ}$，所以$\angle QPT = \angle QRS$。
5. 根据正弦定理，得到
$\frac{QT}{\sin \angle QTP} = \frac{QP}{\sin \angle QPT}$
$\frac{RS}{\sin \angle RSP} = \frac{RP}{\sin \angle QRS}$
因为$\angle QRS = \angle QPT$，所以$\sin \angle QTP = \sin \angle RSP$。
又因为$PQ = PM$，所以$\frac{QP}{PR} = \frac{PM}{PR}$，即$\frac{QP}{PM} = \frac{PR}{PM}$，即$\frac{QP}{PM} = \frac{QN}{PM}$。
因此，$\frac{QP}{\sin \angle QPT} = \frac{QN}{\sin \angle QTP}$，$\frac{RP}{\sin \angle QRS} = \frac{RN}{\sin \angle RSP}$。
将以上三式代入原式，得到$QT = RS$。
因此，得证$QT = RS$。