门|门 CS 1996 |问题 29

这是一道经典的计算机科学问题，也称为“亿万富翁问题”或“门牌号问题”。它可以用于评估一个程序员的搜索和算法分析能力。

问题描述

问题的具体描述如下：

有 $n$ 个人住在同一栋公寓的 $n$ 个房间里，每个房间门牌上都有一个数字，人们按照门牌上的数字顺序排成一排。现在需要将这些人随机分成两组，每组一半，使得两组门牌上的数字之和相等。如果可能有多种方案，请输出任意一种。

解题思路

暴力枚举所有可能的分组方式显然是不现实的，因为对于 $n$ 个人，可能的分组方式有 $2^{n-1}$ 种，其中 $n-1$ 表示需要分成两组的人数。因此，我们需要采用一种更加高效的策略。

一个重要的思路是通过分析问题的性质来进行优化。注意到这些门牌号码都是整数，因此我们可以考虑使用动态规划来解决问题。具体地，我们可以将问题转化为如下的子问题：给定 $i$ 个人和一个目标和 $S$，能否选出其中的一些人，使得他们的门牌号码之和等于 $S$。

设 $dp(i, S)$ 表示是否存在一种选法使得前 $i$ 个人的门牌号码之和等于 $S$，则有如下的转移方程：

$$ dp(i, S) = dp(i-1, S) \lor dp(i-1, S-x_i) $$

其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个人的门牌号码。显然，如果前 $i-1$ 个人的门牌号码之和已经可以达到 $S$，那么第 $i$ 个人不需要被选中；否则，我们需要考虑将第 $i$ 个人加入到已有的人中，看看能否得到目标和 $S$。

至此，我们已经完成了问题的规划步骤。接下来，我们需要通过回溯和搜索来恢复出符合要求的分组方案。具体地，我们从 $dp(n, S)$ 开始，向前回溯，按照转移方程依次确定每个人应该属于哪一组。

代码实现

下面是 Python 语言的实现，其中 $n=10$，门牌号码随机生成，目标和 $S$ 为所有门牌号码之和的一半。

from typing import List

def equal_sum_partition(n: int, a: List[int]) -> List[List[int]]:
    s = sum(a)
    if s % 2 != 0:
        return []

    S = s // 2
    dp = [[False] * (S+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = True

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, S+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j >= a[i-1]:
                dp[i][j] |= dp[i-1][j-a[i-1]]

    if not dp[n][S]:
        return []

    A, B = [], []
    i, j = n, S
    while i > 0 and j >= 0:
        if dp[i-1][j]:
            i -= 1
        elif j >= a[i-1] and dp[i-1][j-a[i-1]]:
            A.append(i-1)
            j -= a[i-1]
        i -= 1

    for i in range(n):
        if i not in A:
            B.append(i)

    return [A, B]

需要注意的是，以上代码只是一种可能的实现方式，并不是唯一正确的答案。在具体实现时，应该针对不同的语言和场景做出适当的修改和优化。