门| GATE CS 1996 |问题6

这是 GATE 计算机科学 1996 年的一道题目，在此介绍一下。

题目描述

有一个数组 A，长度为 n，它存放的是非负整数。再给定一个命令序列，包括三种类型：

• 0 i v 将 A[i] 改为 v；
• 1 i j 求出 A[i] 至 A[j] 中的最大值；
• 2 i j 求出 A[i] 至 A[j] 中的最小值。

其中，0<=i,j<n，v>=0。

要求编写程序，能够处理这个命令序列，并输出最终的结果。

解题思路

题目中要求求出一个区间中的最大值或最小值，这是典型的区间查询问题。对于这类问题，我们可以采取线段树、树状数组等数据结构进行求解。此题我们采用线段树进行解答。

线段树

线段树是一种二叉树结构，它把一个区间划分成若干个子区间，并且每个子区间的长度相等。线段树通过递归的方式进行维护，并支持区间查询和单点修改等操作。具体实现细节可以参考 线段树 的相关资料。

代码实现

在这里，我们提供一个 Python 语言下的线段树代码实现，帮助你更好的理解该题目的解题思路。下面是程序的核心代码：

# 定义线段树类
class SegmentTree(object):

    def __init__(self, data):
        self._data = data
        self._tree = [0] * (4 * len(data))

    def _build_tree(self, node, start, end):
        if start == end:
            self._tree[node] = self._data[start]
        else:
            mid = (start + end) // 2
            self._build_tree(node * 2, start, mid)
            self._build_tree(node * 2 + 1, mid+1, end)
            self._tree[node] = max(self._tree[node*2], self._tree[node*2+1])

    def query_max(self, i, j):
        return self._query_max(1, 0, len(self._data)-1, i, j)

    def _query_max(self, node, start, end, i, j):
        if i > end or j < start:
            return 0 # 超出区间，返回 0
        if i <= start and j >= end:
            return self._tree[node] # 找到节点，返回值
        mid = (start + end) // 2
        left_max = self._query_max(node*2, start, mid, i, j)
        right_max = self._query_max(node*2+1, mid+1, end, i, j)
        return max(left_max, right_max)

    def update(self, i, val):
        self._update(1, 0, len(self._data)-1, i, val)

    def _update(self, node, start, end, i, val):
        if start == end:
            self._tree[node] = val
        else:
            mid = (start + end) // 2
            if i <= mid:
                self._update(node*2, start, mid, i, val)
            else:
                self._update(node*2+1, mid+1, end, i, val)
            self._tree[node] = max(self._tree[node*2], self._tree[node*2+1])

# 定义主函数
if __name__ == '__main__':

    # 初始化数据
    A = [3, 1, 4, 2, 6, 7, 5, 8]
    n = len(A)

    # 创建线段树
    stree = SegmentTree(A)
    stree._build_tree(1, 0, n-1)

    # 处理命令序列
    cmds = [
        [0, 2, 9], # 修改 A[2] = 9
        [1, 2, 5], # 查询 A[2:5] 的最大值
        [2, 3, 7], # 查询 A[3:7] 的最小值
    ]
    for cmd in cmds:
        if cmd[0] == 0:
            stree.update(cmd[1], cmd[2])
        elif cmd[0] == 1:
            print(stree.query_max(cmd[1], cmd[2]))
        else:
            print(stree.query_min(cmd[1], cmd[2]))

结论

通过本文的介绍，我们了解到了线段树的基本思想和相关实现方法，以及如何使用线段树进行区间查询的解题思路。在进一步的实践中，我们可以尝试增加新的操作（如区间求和、区间修改等），并综合利用线段树和其他算法来做出更加复杂的算法题目，提高自己的算法水平。