使用极坐标方程和布雷森汉方程画圆

在本文中，我们将讨论如何使用Bresenham方程和Polar方程绘制圆。

圆图绘制算法

在计算机屏幕上显示连续的平滑弧线并不容易，因为我们的计算机屏幕是由以矩阵形式组织的像素组成的。因此，要在计算机屏幕上画一个圆，应始终从打印的像素中选择最近的像素，以使它们形成弧形。

• 考虑以原点为中心的半径为整数的圆。
• 可以应用翻译以获取非原点为中心的圆。
• 圆的等式由下式给出：

x² + y² =  R²
y = +/-sqrt(R2-x2)

• 给定的等式可以写成：

F(x, y)= x2+ y2-R2=0
5.

• 对称性的使用：只需要计算一个八分圆。一个人可以在其他7个八分圆中获得积分，如下所示：
  • 绘图点(x，y)
  • 绘图点(y，x)
  • 绘图点(x，-y)
  • 绘图点(-y，x)
  • 绘图点(-x，-y)
  • 绘图点(-y，-x)
  • 绘图点(-x，y)
  • 绘图点(-y，x)

使用Bresenham方程绘制圆图

布雷森汉方程式(Bresenham Equation)使用了高度对称的圆的关键特征。因此，对于整个360度圆，将其分为45度的每个八分之八部分。为此，我们的想法是使用Bresenham的Circle算法来计算45度第一个八分之一像素中像素的位置。假定圆以原点为中心。因此，对于每个像素(x，y) ，请在圆的8个八分之一圆的每个像素中绘制一个像素，如下所示：

在布雷森纳姆算法的任意(x，y)点上，我们有两个选择或者选择东部的下一个像素(x + 1，y)或东南的下一个像素(x + 1，y – 1) 。这可以通过使用决策参数d来确定：

• 如果d> 0 ，则将选择(x + 1，y – 1)作为下一个像素，因为它将更靠近圆弧。
• 否则(x + 1，y)将被选作下一个像素。

下面是布雷森纳姆方程的算法：

• F(x，y)= x ² + y ² = 0点在圆上。
• F(x，y)> 0点位于圆的外面。
• F(x，y)<0点位于圆内。
• 如果d> = 0，则将x更新为(x + 1)和y =(y – 1)，从而得到新的d
• 如果d <0，则将x更新为(x + 1)，这将给出d的新值

C

// C program for the above approach
#include 
#include 
#include 
#include 
  
int xo, yo, r;
  
// Function to display the circle using
// the above algorithm
void Display(void)
{
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
  
    // Color of printing object
    glColor3f(1, 0, 0);
  
    // Giving the size of the point
    glPointSize(2);
  
    int x = 0;
    int y = r;
    float p = 5 / 4 - r;
  
    glColor3f(1, 0, 0);
  
    // Starting of drawing the circle
    glBegin(GL_POINTS);
  
    while (y > x) {
        if (p < 0) {
  
            // Increment x to x+1
            x++;
            p = p + 2 * x + 1;
        }
        else {
  
            // Increment x to x+1
            // and decrease y to y-1
            y--;
            x++;
            p = p + 2 * (x - y) + 1;
        }
  
        // Draw the coordinates
        glVertex2d(x + xo, y + yo);
        glVertex2d(-x + xo, y + yo);
        glVertex2d(x + xo, -y + yo);
        glVertex2d(-x + xo, -y + yo);
        glVertex2d(y + yo, x + xo);
        glVertex2d(-y + yo, x + xo);
        glVertex2d(y + yo, -x + xo);
        glVertex2d(-y + yo, -x + xo);
    }
  
    glEnd();
  
    // Its empties all the buffer
    // causing the issue
    glFlush();
}
  
// Driver Code
int main(int argc, char** argv)
{
    printf("X-coordinate Y-coordinate radius:");
    scanf("%d %d %d", &xo, &yo, &r);
    glutInit(&argc, argv);
    glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
  
    // Assigning the size of window
    glutInitWindowSize(1000, 1000);
  
    // Assign the position of window
    // to be appeared
    glutInitWindowPosition(100, 100);
  
    // Defining the heading of the window
    glutCreateWindow("GeeksforGeeks");
  
    // Backgronnd Color
    glClearColor(1, 1, 1, 1);
  
    // limit of the coordinate points
    gluOrtho2D(-500, 500, -500, 500);
  
    // Calling the function
    glutDisplayFunc(Display);
  
    glutMainLoop();
  
    return 0;
}

输出：

时间复杂度： O(N)
辅助空间： O(1)

使用极地方程式进行圆

在Polar Equation系统中，其想法是用一只手想到一个时钟。与手从原点移开距离r (有时称为模数) ，然后将手向上(逆时针)旋转角度θ到达该点。以下是极地方程的算法：

1. 初始化变量rad，center(x0，y0) ，索引值或增量值i ，并使用极坐标θ_end= 100定义一个圆。
2. 如果θ_end<θ ，则退出循环。
3. 找到x的值作为rad * cos(angle)和y的值作为rad * sin(angle) 。
4. 绘制通过对称找到的八个点，即在当前(x，y)坐标处的中心(x0，y0)。
   • 情节(x + xo，y + yo)
   • 情节(-x + xo，-y + yo)
   • 情节(y + xo，x + yo)
   • 绘图(-y + xo，-x + yo)
   • 情节(-y + xo，x + yo)
   • 情节(y + xo，-x + yo)
   • 绘图(-x + xo，y + yo)
   • 情节(x + xo，-y + yo)
5. 将角度增加i * 2 *(M_PI / 100) 。

下面是实现上述方法的程序：

C

// C program to demonstrate circle
// drawing using polar equation
#include 
#include 
#include 
#include 
float xo, yo, rad;
  
// Function to display the circle
void display()
{
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
  
    // Color of printing object
    glColor3f(1, 1, 1);
  
    float angle;
  
    // Start to drawing the circle
    glBegin(GL_POLYGON);
  
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
  
        // Change the angle
        angle = i * 2 * (M_PI / 100);
        glVertex2f(xo + (cos(angle) * rad),
                   yo + (sin(angle) * rad));
    }
  
    glEnd();
  
    // Its empties all the buffer
    // causing the issue
    glFlush();
}
  
// Driver Code
int main(int argc, char** argv)
{
    glutInit(&argc, argv);
    printf("Enter x y radius ");
    scanf("%f %f %f", &xo, &yo, &rad);
  
    glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
  
    // Assigning the size of window
    glutInitWindowSize(500, 500);
  
    // Assign the position of window
    // to be appeared
    glutInitWindowPosition(200, 200);
  
    // Defining the heading of the window
    glutCreateWindow("GeeksforGeeks");
  
    // Backgronnd Color
    glClearColor(0, 1, 0, 1);
  
    // limit of the coordinate points
    gluOrtho2D(-500, 500, -500, 500);
  
    // Calling the function
    glutDisplayFunc(Display);
  
    glutMainLoop();
  
    return 0;
}

输出：

时间复杂度： O(N)
辅助空间： O(1)