资质 |门 CS 1998 |问题 14

问题描述

在一个大小为$n$的数组中，寻找连续的一段数列，使得数列内元素之和最大。

例如，对于数组$[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]$，最大连续子序列和为$6$，对应的数列为$[4,-1,2,1]$。

解法

这个问题有很多种解法，其中比较简单的有暴力枚举、分治法和动态规划。

暴力枚举

暴力枚举法很容易想到：枚举所有可能的子序列，并计算它们的和。时间复杂度为$O(n^3)$，因此不适合处理大规模数据。

分治法

分治法的思路是将数组划分为两个部分，最大子序列要么在左半部分，要么在右半部分，要么跨越中间点。而左右两部分可以递归地求解，跨越中间点的情况需要从中间点开始计算左右两个方向的最大子序列。时间复杂度为$O(n\log n)$。

动态规划

动态规划法的思路是用$dp[i]$表示以第$i$个元素结尾的最大子序列和。如果前面的子序列和小于$0$，那么对于$dp[i]$的贡献就是$nums[i]$本身，否则就是前面的子序列和加上$nums[i]$。时间复杂度为$O(n)$。

下面是动态规划法的代码实现（使用Python语言）：

def max_subarray(nums):
    dp = [0] * len(nums)
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
    return max(dp)

总结

以上是本题的三种解法，它们分别代表了暴力枚举、分治法和动态规划在解决问题上的不同思路和不同效率。对于更大规模的数据，建议采用动态规划或者优化后的分治算法。