使用 Floyd Warshall 检测负循环

Floyd Warshall 算法是一种用于寻找所有节点对之间的最短路径的算法。然而，当存在负边权时，该算法可能无法正确工作。在这种情况下，我们需要使用 Floyd Warshall 算法来检测负循环。负循环指的是在一条路径上，边权值的总和为负。

算法实现

使用 Floyd Warshall 算法来检测负循环，我们需要在原有的算法基础上进行一些修改。我们需要在所有计算的基础上检查每条路径是否存在负循环。 如果我们发现一个负循环，我们将使用一个特殊值（例如负无穷）来表示从该节点到其他任何节点的距离。

def floydWarshall(graph):
    dist = graph
    V = len(graph)
    for k in range(V):
        for i in range(V):
            for j in range(V):
                if dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]:
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
    # 检查负循环
    for k in range(V):
        for i in range(V):
            for j in range(V):
                if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:
                    dist[i][j] = float('-inf') # 使用负无穷表示负循环
    return dist

算法分析

与标准 Floyd Warshall 算法类似，该算法的时间复杂度为 $O(V^3)$，其中 V 是节点的数量。由于要检查每一条路径是否存在负循环，因此空间复杂度也为 $O(V^3)$。

总结

Floyd Warshall 算法是寻找所有节点对之间的最短路径的一种常见算法。当存在负边权时，我们可以使用 Floyd Warshall 算法来检测负循环。如果没有负循环，该算法以时间复杂度 $O(V^3)$ 和空间复杂度 $O(V^3)$ 的方式运行，是一种非常高效的算法。