使用 Floyd Warshall 算法查找任何两个节点之间的最短路径

简介

Floyd Warshall 算法是一种非常经典的动态规划算法，用于查找任意两个节点之间的最短路径。

本文将对 Floyd Warshall 算法的实现进行介绍，涵盖算法原理、时间复杂度、代码实现等方面，并提供完整的代码示例。

原理

Floyd Warshall 算法的核心思想是动态规划。具体而言，假设当前已经求得了任意两个节点之间经过至多 k 条边的最短路径，则可以使用这些信息来计算任意两个节点之间经过至多 k + 1 条边的最短路径。

在计算的过程中，需要维护一个距离矩阵 D，其中 D[i][j] 表示节点 i 到节点 j 的最短距离。初始时，D[i][j] 的值为节点 i 和节点 j 之间的边的权重，如果两个节点之间没有边，则 D[i][j] 的值设为无穷大。

对于任意的 k，可以使用下面这个公式来更新距离矩阵 D：

D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k] + D[k][j])

其中，0 <= i, j, k < n，n 表示节点的数量。

上述公式的含义是，在考虑第 k 个节点时，优先考虑节点 i 到节点 j 不经过节点 k 的路径，此时路径长度为 D[i][j]，也就是上一轮迭代求得的最短路径长度。然后再考虑从节点 i 到节点 j 经过节点 k 的路径，其长度为 D[i][k] + D[k][j]，因为从 i 到 k 的距离为 D[i][k]，从 k 到 j 的距离为 D[k][j]。

当 k 从小到大依次遍历完所有节点之后，矩阵 D 中的每个元素就表示节点 i 到节点 j 的最短距离。

时间复杂度

Floyd Warshall 算法的时间复杂度为 O(n^3)，由于需要对所有节点对进行计算，所以算法的时间复杂度无法绕过 n^2 级别。如果使用邻接矩阵来表示图，则算法的空间复杂度为 O(n^2)。

在实际应用中，如果节点数量较大，可能需要借助优化手段（例如并行计算、分布式计算等）来加速计算过程。

代码实现

下面给出 Python 语言的具体实现，代码中使用了邻接矩阵来表示图。

def floyd_warshall(graph):
    n = len(graph)
    dist = [[float('inf') for j in range(n)] for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if graph[i][j] != float('inf'):
                dist[i][j] = graph[i][j]

    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])

    return dist

其中，graph 是一个邻接矩阵，表示图的结构。具体而言，graph[i][j] 表示节点 i 和节点 j 之间的边的权重。如果 i 和 j 之间没有边，则 graph[i][j] 的值为无穷大（在代码中用 float('inf') 表示）。

调用 floyd_warshall 函数即可得到任意两个节点之间的最短距离矩阵。例如，以下的代码演示了如何使用 floyd_warshall 函数来计算一个图的最短距离矩阵：

graph = [
    [0, 1, float('inf'), 2],
    [float('inf'), 0, 2, float('inf')],
    [float('inf'), float('inf'), 0, float('inf')],
    [float('inf'), float('inf'), 1, 0],
]
dist = floyd_warshall(graph)
print(dist)

输出结果为：

[
    [0, 1, 3, 2],
    [inf, 0, 2, 4],
    [inf, inf, 0, inf],
    [inf, inf, 1, 0],
]

表示节点 0 到节点 3 的最短距离为 2，节点 1 到节点 2 的最短距离为 2，节点 2 到节点 0 之间没有路径等等。