使用层序遍历的二叉树密度

在计算机科学中，二叉树是一种常见的数据结构，其每个节点最多有两个子节点。二叉树密度是指二叉树中节点数量与高度之比，用来衡量二叉树的满度程度。

计算二叉树密度的常规方法

常规方法是通过递归地计算每个子树的节点数量和高度，然后将它们相加，并除以总的节点数进行计算。这个方法的时间复杂度为O(n log n)，其中n为节点数。

def calc_density(node):
    if not node:  # 空节点
        return 0, 0
    left_nodes, left_height = calc_density(node.left)  # 左子树节点数和高度
    right_nodes, right_height = calc_density(node.right)  # 右子树节点数和高度
    return (
        left_nodes + right_nodes + 1,  # 节点数
        max(left_height, right_height) + 1  # 高度
    )

def binary_tree_density(root):
    nodes, height = calc_density(root)
    return nodes / height

使用层序遍历优化计算效率

上述计算二叉树密度的常规方法在树的深度比较大时会出现效率低下的问题。为了优化计算效率，我们可以使用层序遍历，记录每一层的节点数量，并计算出所有层的节点数量总和。

import collections

def binary_tree_density(root):
    if not root:
        return 0

    level_counts = []
    queue = collections.deque([root])
    while queue:
        level_count = len(queue)  # 当前层的节点数量
        level_counts.append(level_count)
        for _ in range(level_count):
            node = queue.popleft()
            if node.left:
                queue.append(node.left)
            if node.right:
                queue.append(node.right)

    return sum(level_counts) / len(level_counts)

使用层序遍历计算二叉树密度的时间复杂度为O(n)，其中n为节点数，比常规方法更加高效。