门| GATE CS Mock 2018 |问题 24

这是一道针对程序员的 GATE CS Mock 2018 的问题第 24 题。该问题涉及到了图论的基础知识。

问题描述

给定一个有向图，每个节点都有一个非负整数的值。现在，要你移除这个图上的一些节点，使得剩下的节点组成一棵树，并且树上节点的值的总和最大。

你需要编写一个程序，来解决这个问题。

解决方法

这个问题可以采用贪心法来解决。具体地，我们可以按照以下步骤来完成算法：

1. 首先，我们需要计算每个节点的子树权值之和，这可以通过一个递归函数来完成。
2. 然后，我们可以按照节点的子树权值之和从大到小地排序，这样我们就可以从权值最大的节点开始，逐个地将它的子树节点都删除。
3. 要注意的是，如果一个节点在删除它的子树节点之后，它自己成了叶子节点，那么它也要被删除掉。

这个算法的正确性可以由以下定理来证明：

定理：假设 $T$ 是一个以 $v$ 为根的子树，其权值之和为 $S(T)$；假设 $T_1, T_2, ..., T_k$ 是 $v$ 的子树，并且 $S(T_1) \geq S(T_2) \geq ... \geq S(T_k)$。那么，在删除 $v$ 的一些子树后，$v$ 的子树中最大权值和的子树 $T'$，必然包含在 $T_1, T_2, ..., T_k$ 中。

由此，可以证明上述算法的正确性。具体实现可以参考下面的代码片段。

def dfs(node, graph, subtree, visited):
    visited[node] = True
    subtree[node] = node.weight
    for child in graph[node]:
        if not visited[child]:
            subtree[node] += dfs(child, graph, subtree, visited)
    return subtree[node]

def max_tree_value(graph, root):
    visited = [False] * len(graph)
    subtree = [0] * len(graph)

    dfs(root, graph, subtree, visited)

    nodes = [(subtree[i], i) for i in range(len(graph))]
    nodes.sort(reverse=True)

    removed = set()
    value = 0
    for _, node in nodes:
        if node in removed:
            continue
        for child in graph[node]:
            if child not in removed:
                subtree[node] -= subtree[child]
        if subtree[node] == 0:
            removed.add(node)
        else:
            value += subtree[node]

    return value

总结

本题所涉及的贪心算法和图论的基础知识都比较简单，但考察了程序员的思考和编程能力。如果你感兴趣的话，可以进一步学习一些高级的图论算法，比如最短路径算法、最小生成树算法等等。