在会议期间，7 名学生可以分配到 1 个三人间和 2 个双人间酒店有多少种方式？

给定一定数量的元素，它们的不同排列，或者通过一个接一个地选择，或者其中一些，或者一次全部选择，称为排列。它们被视为将线性序列分配给给定序列的成员的过程。它也被称为对给定序列或系列的元素重新排序的过程。

换句话说，排列一个序列意味着列出该序列的所有可能排列。

例如，系列 {1, 2} 可以写成两种方式：{1, 2} 或 {2, 1}。

在给定序列中的n 个元素中排列r个元素时的排列数

ⁿ P _r = n!/(nr)!

例如，让 n = 5 {A, B, C, D, E} 和 r = 2（所有排列都有两个元素）。答案是⁵ P ₂ = 5！ /（5-2）！ = 20。这 20 个排列是：AB、AC、AD、AE、BA、BC、BD、BE、CA、CB、CD、CE、DA、DB、DC、DE、EA、EB、EC 和 ED。

组合

它被定义为从给定序列中选择一个或两个或一些元素的过程，而不管元素的顺序如何。比如说，要选择一个系列中只有两个元素的两个元素，首先，这些元素的顺序无关紧要。

当从给定序列中的 n 个元素中选择 r 个元素时的组合数，

ⁿ C _r = n!/r!(nr)!

例如，设 n = 5 和 r = 2，然后从 5 = ⁵ C ₂ = 5!/2! 中选择 2 个元素的方法数（5-2）！ = 10。

在会议期间，7 名学生可以分配到 1 个三人间和 2 个双人间酒店有多少种方式？

解决方案：

This problem can be interpreted as having to put the 7 students into groups of 3, 2 and 2.

Number of ways to choose 3 students in the triple = ⁷C₃ = 7! / 3!4! = 35  

Number of ways to choose 2 out of the remaining 4 students = ⁴C₂ = 4!/ 2!2! = 6

Number of ways to choose 2 students out of the remaining two students = 1

Total number of arrangements = 35 × 6 × 1 = 210.

Hence, 7 students can be assigned to 1 triple and 2 double hotel rooms during a conference in 210 ways.

类似问题

问题 1. 有多少种方法可以选出 5 人组成一个委员会，以使 7 名男性和 6 名女性组成的委员会中至少有 3 名男性？

解决方案：

At least three men on the committee means we can have either exactly three, four or all five men in the committee.

Required number of ways = (⁷C₃ × ⁶C₂) + (⁷C₄ × ⁶C₁) + (⁷C₅)

= $\frac{7×6×5}{3×2×1}$ + $\frac{7×6×5}{3×2×1} × 6$  + $\frac{7×6}{2×1}$

= 525 + 210 + 21

= 756

问题 2. 'LEADING' 单词的字母有多少种排列方式可以使元音始终连在一起？

解决方案：

There are 3 vowels in the word. Number of ways to arrange these vowels among themselves = 3! = 6

Now as for the 4 letters, number of ways to arrange = 5! = 120

Total number of ways of arranging the letters = 120 × 6 = 720.

问题 3. 8 个辅音和 5 个元音，4 个辅音和 3 个元音可以组成多少个单词？

解决方案：

Number of ways of selecting 4 consonants out of 8 and 3 vowels out of 5 = ⁸C₄ × ⁵C₃

= $\frac{8 ×7 ×6 ×5 ×4!}{4! × 4!} × \frac{5 ×4 ×3!}{3! × 2!}$

= 70 × 10 = 700

Number of ways of arranging the 7 letters among themselves = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

Number of words that can be formed = 5040 × 700 = 3528000.

问题 4. 如果不允许重复，“LOGARITHMS”这个词可以组成多少个四个字母的词？

解决方案：

Since there are 10 different letters in the word ‘logarithms’.

Required number of words = ¹⁰P₄

= 10!/6! 

= 5040