可以由N个顶点形成的不同图形的计数

对于一个给定的顶点数N，许多计算机程序员都希望能够找到能够形成不同图形的总数。这对于解决许多实际问题非常有用，包括网络拓扑学、图形数据库、图像识别等。

问题介绍

问题的基本形式是一个人们经常会面对的排列组合问题——如何从N个元素中选择K个元素，或者如何将N个元素分成K个集合。在这里，我们需要计算从N个顶点中选择K个形成的图形的数量。

算法思路

我们可以使用回溯法来解决这个问题。我们从每个顶点开始，依次向下一个顶点探索，直到我们遇到基本情况（即，已经选择了K个顶点）。

具体来说，我们可以按以下步骤操作：

• 首先，我们选择一个起始顶点v，并将其标记为已选择的顶点。
• 然后，从v的相邻顶点中选择一个，标记为已选择，同时递归调用该函数。
• 如果选择的顶点数已达到K，则将其记录为一个新的图形，并结束该函数。
• 如果还需要选择更多的顶点，则继续向下递归，并在递归结束后回溯，将该顶点标记为未选择。

最终，我们将得到所有能够形成的图形的数量。

代码片段

下面是使用Python语言实现了上述算法的代码片段。

def count_graphs(N, K):
    graphs = []
    def backtrack(path, v):
        if len(path) == K:
            graphs.append(path)
            return
        for u in range(v+1, N):
            path.append(u)
            backtrack(path, u)
            path.pop()
    for i in range(N):
        backtrack([i], i)
    return len(graphs)

该函数接受两个参数，分别是顶点数N和选择的顶点数K。它首先定义了一个空列表graphs来存储所有可能形成的图形，然后使用了嵌套函数backtrack来进行回溯。

对于每个顶点i，我们从它开始调用backtrack函数。该函数有两个参数，分别是当前选择的顶点列表path和上一个被选择的顶点的编号v。

在backtrack函数中，我们首先检查path的长度是否达到了K。如果是，我们将其添加到graphs中并返回。否则，我们从v的下一个顶点开始尝试。

在循环中，我们将当前顶点u添加到path中，然后继续向下递归。当递归完成时，我们将该顶点从path中弹出。这样，我们可以确保每一次递归都只选择不同的顶点。

最后，我们返回graphs列表的长度，即为所有可能形成的图形的数量。

结论

使用上述算法，我们可以非常高效地计算出可以由N个顶点形成的不同图形的数量。这对于解决实际问题非常有用，并且容易实现。