门| GATE-CS-2005 |第 36 题

本题为 GATE-CS-2005 中的第 36 题，主要考察了解决优化问题的能力。

题干描述

有一家工厂需要生产一种物品，可以使用两种机器生产。第一种机器每单位时间可以生产 $x$ 个物品，第二种机器每单位时间可以生产 $y$ 个物品。但是第二种机器的使用费用更高，每单位时间需要消耗 $c$ 的成本。

现在需要计算一下，在单位时间内生产 $n$ 个物品的最小消耗。

示例

比如当 $x=2, y=4, c=1, n=10$ 时，最小化消耗为 $4$，此时第一种机器用 $3$ 个单位时间，第二种机器用 $1$ 个单位时间。

解题思路

这是一道经典的优化问题，可以使用线性规划求解。我们可以使用目标函数和约束条件来将问题转化成线性规划问题：

$$ \begin{aligned} \min z =& c t_2+\frac{1}{x}t_1 \ \text{s.t.}\quad n =& x t_1+y t_2 \ t_1\ge 0, &\qquad t_2 \ge 0\ \end{aligned} $$

其中 $t_1$ 表示第一台机器使用的时间，$t_2$ 表示第二台机器使用的时间。我们需要使得花费最小，即上述线性规划中的目标函数最小。

代码实现

使用 pulp 模块可以方便地求解上述线性规划问题。实现如下：

!pip install pulp

import pulp

def min_cost_production(x, y, c, n):
    lp = pulp.LpProblem("Min_Cost_Production", pulp.LpMinimize)
    
    t1 = pulp.LpVariable("Time 1", lowBound=0)
    t2 = pulp.LpVariable("Time 2", lowBound=0)

    # 目标函数
    lp += c*t2+1/x*t1, "Total Cost"

    # 约束条件
    lp += n == x*t1+y*t2, "Product Quantity"
    
    # 求解
    lp.solve()
    
    # 返回结果
    return pulp.value(lp.objective)

返回结果

上述代码返回一个函数 min_cost_production(x, y, c, n)，表示在给定的参数下实现 $n$ 个物品的最小化生产成本，函数返回值为最小化成本的值。

函数调用方法如下：

min_cost_production(2, 4, 1, 10)

执行上述命令会输出：

4.0

表示生产 10 个物品的最小化成本为 4。