分数背包查询介绍

概述

分数背包查询（Fractional Knapsack Problem）是一种优化问题，属于动态规划问题。它的特殊之处在于物品可以被部分装进背包中，而不是只能全部装或全部不装。

分数背包问题可以简化为寻找最优解决方案，使得这些物品的总体积不超过背包容量，而它们的总价值最大。

解决方法

为了解决分数背包问题，可以采用贪心算法，也可以使用动态规划算法。

贪心算法

贪心算法的基本思想是每次选择最有利的。在分数背包问题中，选择物品时可以按照物品的单位价值（价值与重量的比值）从大到小排序，然后依次选择单位价值最大的物品，直到背包装满为止。如果物品不能被分割，就只能选择或不选择。

动态规划算法

动态规划算法是一种用于在一段时间内做决策的算法。采用动态规划的策略是将一段时间的决策拆分成一系列的部分，并根据每个决策的最优化结果来确定下一个决策。在给定了所有的决策之后，动态规划算法的最终结果是提前计算出的最优解决方案。

在分数背包问题中，采用动态规划算法的具体流程如下：

1. 确定状态。定义 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个物品总重量不超过 $j$ 时的最大总价值。
2. 确定状态转移方程。对于第 $i$ 个物品，设其重量为 $w_i$，价值为 $v_i$，则 $f(i,j)=max(f(i-1,j-kw_i)+kv_i)$，其中 $k$ 表示 $w_i$ 重量的倍数。
3. 确定边界情况。初始时，$f(0,j)=0$，表示不选择任何物品时的总价值为 $0$。
4. 背包问题的最终答案为 $f(n,V)$，其中 $n$ 表示物品总数，$V$ 表示背包容量。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现分数背包问题的贪心算法和动态规划算法的代码示例。

贪心算法

def fractional_knapsack_problem(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    ratio = [values[i] / weights[i] for i in range(n)]
    index = list(range(n))
    index.sort(key=lambda i: ratio[i], reverse=True)
    max_value = 0
    fractions = [0] * n
    for i in index:
        if weights[i] <= capacity:
            fractions[i] = 1
            max_value += values[i]
            capacity -= weights[i]
        else:
            fractions[i] = capacity / weights[i]
            max_value += values[i] * fractions[i]
            break
    return max_value, fractions

动态规划算法

def fractional_knapsack_problem(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    f = [0] * (capacity + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(capacity, 0, -1):
            k = j // weights[i - 1]
            for p in range(k+1):
                f[j] = max(f[j], f[j - p * weights[i - 1]] + p * values[i - 1])
    return f[capacity]

以上两个函数返回的分别是最大价值和物品选择数组。