C++程序查找 Sum(i*arr[i]) 的最大值，只允许在给定数组上进行旋转

介绍

在这个问题中，我们需要在一个数组上旋转，使得 Sum(i*arr[i]) 的值最大。换句话说，我们需要找到一个旋转的方案，使得数组的元素与对应的下标的乘积的和最大。

通常情况下，我们可以使用Brute Force来解决这个问题，但是这种方法的时间复杂度比较高，不太适合处理大型数据。因此，我们需要使用一些更有效的算法来解决这个问题。

解决方案

1. 暴力法

我们可以使用Brute Force来解决这个问题。Brute Force的思想是，枚举每一个可能的旋转方案，计算每一个方案下 Sum(i*arr[i]) 的值，最后找到最大值。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

ll n;
ll arr[100010];

ll rotate_by_one(ll arr[], ll n)
{
    ll x = arr[n-1], i;
    for (i=n-1; i>0; i--) {
        arr[i] = arr[i-1];
    }
    arr[0] = x;
}

ll find_max_sum(ll arr[], ll n)
{
    ll max_sum = LLONG_MIN;
    for (ll i=0; i<n; i++) {
        rotate_by_one(arr, n);
        ll sum = 0;
        for (ll j=0; j<n; j++) {
            sum = sum + j*arr[j];
        }
        max_sum = max(max_sum, sum);
    }
    return max_sum;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (ll i=0; i<n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    ll max_sum = find_max_sum(arr, n);
    cout << max_sum << endl;
    return 0;
}

2. 数学推导法

我们可以使用一些数学公式来推导出一个更加高效的解决方案。我们将 Sum(iarr[i]) 经过旋转后的结果表示为 Sum_R(iarr[i])，Sum_L(iarr[i]) 表示没有旋转的情况下的 Sum(iarr[i])。

那么，我们可以推导出以下公式：

1. Sum_R(iarr[i]) = Sum_L(iarr[i]) + Sum(arr[i]) - n*arr[n-i]

其中，i 从 0 到 n-1。由于旋转后的数组其实就是将原数组的最后一个元素移到了第一个位置，因此 Sum_R(iarr[i]) 可以表示为 Sum_L(iarr[i]) 中，所有下标大于等于 n-i 的元素都加上了 (n-i)*arr[n-i]，所有下标小于 n-i 的元素都减去了 (n-i)*arr[n-i]。

那么，我们可以将上述公式表示为以下形式：

2. Sum_R(iarr[i]) = Sum_L(iarr[i-1]) + Sum(arr[i]) - n*arr[n-i]

可以看出公式2中的第一项和第二项是与 i 的值有关的，因此我们可以预处理出这两个值，然后每次计算 Sum_R(iarr[i]) 的时候，更新一下 Sum_L(iarr[i-1]) 和 Sum(arr[i])，然后取得最大值即可。

具体实现代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

ll n;
ll arr[100010];

ll find_max_sum(ll arr[], ll n)
{
    ll max_sum = LLONG_MIN;
    ll sum_arr = 0;
    for (ll i=0; i<n; i++)
    {
        sum_arr = sum_arr + arr[i];
    }
    ll sum = 0;
    for (ll i=0; i<n; i++)
    {
        sum = sum + i*arr[i];
    }
    ll sum_l = sum;
    ll sum_r = -1;
    for (ll i=1; i<n; i++)
    {
        sum_r = sum_l + sum_arr - n*arr[n-i];
        max_sum = max(max_sum, sum_r);
        sum_l = sum_r;
    }
    return max(max_sum, sum);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (ll i=0; i<n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    ll max_sum = find_max_sum(arr, n);
    cout << max_sum << endl;
    return 0;
}

结论

在本文中，我们介绍了如何使用两种不同的方法来查找 Sum(i*arr[i]) 的最大值，其中，暴力法的时间复杂度为 O(n^2)，而数学推导法的时间复杂度为 O(n)。

无论是哪种方法，都需要根据具体的问题来选择。如果数据规模较小，可以采用暴力法，否则应该采用数学推导法。