门| GATE-CS-2002 |问题 37

这是一个GATE-CS-2002考试中的问题，涉及到图论的基本概念和算法。下面将给出问题和相关的解决思路和代码实现。

问题描述

假设有一个有向图G=(V,E)，其中V是一个包含n个节点的集合，E是一个包含m个有向边的集合。对于每个节点v$\in$V，都有一个唯一的编号，编号从1到n。假设一个节点s是图G的源节点，即从s开始可以到达所有其他节点。现在需要对图G做k次无权最短路径查询(q1, q2, ..., qk)，其中每个查询针对一个节点t$\in$V，目标是要找到从s到t的最短路径并返回路径上的所有节点。假设所有的查询都是离线的，即所有查询都一开始就给定，且查询结果需要提前计算并存储下来。

方法介绍

由于是一道关于最短路径的问题，因此我们可以考虑使用最短路径算法来解决。最短路径算法的具体实现方法有多种，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法等。

对于该问题，我们可以考虑使用Floyd-Warshall算法来解决。Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有节点间最短路径的动态规划算法。通过该算法，我们可以快速地计算任意两个节点之间的最短距离，并能找到最短路径上的所有节点。

该算法的时间复杂度为O(n^3)，由于n的值较小（n<=400），因此该算法的运行时间可以被接受。此外，由于题目中已经明确了需要进行k次查询，因此我们可以将Floyd-Warshall算法的结果提前计算并存储下来，在每次查询时直接返回查询结果即可。

下面是具体的算法实现代码：

def floyd_warshall(graph, n):
    """使用Floyd-Warshall算法计算任意两个节点之间的最短路径，并返回最短路径上的所有节点"""
    dist = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    pred = [[-1] * n for _ in range(n)]

    # 初始化距离矩阵
    for u in range(n):
        dist[u][u] = 0
    for u, v, w in graph:
        dist[u][v] = w
        pred[u][v] = u

    # 计算任意两个节点之间的最短距离
    for k in range(n):
        for u in range(n):
            for v in range(n):
                if dist[u][v] > dist[u][k] + dist[k][v]:
                    dist[u][v] = dist[u][k] + dist[k][v]
                    pred[u][v] = pred[k][v]

    return dist, pred


def get_shortest_path(pred, u, v):
    """从节点u到节点v的最短路径"""
    if pred[u][v] == -1:
        return []

    path = [v]
    while u != v:
        v = pred[u][v]
        path.append(v)

    return path[::-1]


def offline_queries(graph, n, src, queries):
    """离线查询，提前计算最短路径并存储下来，查询时直接返回查询结果"""
    dist, pred = floyd_warshall(graph, n)

    results = []
    for t in queries:
        path = get_shortest_path(pred, src-1, t-1)
        results.append(path)

    return results

总结

本文针对GATE-CS-2002中的问题37，介绍了一种基于Floyd-Warshall算法的解决方法。该方法能够快速地计算任意两个节点之间的最短路径，并能找到最短路径上的所有节点。同时，在进行k次查询时，我们可以将结果提前计算并存储下来，在查询时直接返回查询结果，可以有效地提高查询效率。