满足点方程的有序点数

在计算几何中，点方程是表示一条直线的一种方式。点方程的一般形式为 Ax + By + C = 0，其中A，B，C为常数，x和y为未知数。

在一般情况下，点方程描述的是无序的点（与直线相交或在直线上），但是有时候需要计算满足点方程的有序点数。这在计算几何中具有很重要的作用，如求凸包、求最小圆覆盖等问题都需要计算满足点方程的有序点数。

下面介绍两种常用的算法来计算满足点方程的有序点数。

1. Graham Scan 算法

Graham Scan 算法是计算凸包的经典算法之一，其核心思想是利用极角排序找到凸包上的所有点。

具体步骤如下：

1. 找到横坐标最小的点 $p_0$，如果有多个点的横坐标相同，则选择最上面的那个点。
2. 将 $p_0$ 作为起点，将其余点按照与 $p_0$ 的极角大小排列。
3. 顺序处理排好序的点，对于每个点，如果其不在当前极角的凸包上，则将其加入凸包；否则，忽略该点。
4. 当所有点都处理完毕后，得到的点序列就是凸包上的点。

Graham Scan 算法的时间复杂度是 $O(n\log n)$，其中 $n$ 是点的数量。

下面是实现 Graham Scan 算法求满足点方程的有序点数的 Python 代码：

def graham_scan(points, A, B, C):
    # 求点 p 到直线 Ax+By+C=0 的距离
    def distance(p):
        x, y = p
        return abs(A*x + B*y + C) / ((A**2 + B**2)**0.5)

    # 比较两个点的极角大小
    def cmp(p1, p2):
        x1, y1 = p1
        x2, y2 = p2
        dx1, dy1 = x1 - points[0][0], y1 - points[0][1]
        dx2, dy2 = x2 - points[0][0], y2 - points[0][1]
        if dy1 * dy2 > 0 or (dy1 == 0 and dy2 == 0 and dx1 * dx2 > 0):
            return dy2 * dx1 - dy1 * dx2
        return dy1 - dy2

    # 极角排序
    points = sorted(points, key=cmp_to_key(cmp))

    # Graham Scan
    stack = [points[0], points[1]]
    for p in points[2:]:
        while len(stack) > 1 and cmp(stack[-2], stack[-1]) > cmp(stack[-1], p):
            stack.pop()
        stack.append(p)

    # 计算满足点方程的有序点数
    res = 0
    for i in range(1, len(stack)):
        x1, y1 = stack[i-1]
        x2, y2 = stack[i]
        if A*y1 + B*x1 + C > 0 and A*y2 + B*x2 + C < 0:
            res += 1
    return res

其中 points 是一个点的列表，A、B、C 分别是点方程 Ax+By+C=0 中的常数。

2. 模拟退火算法

模拟退火算法是一种启发式算法，具有全局优化能力。

对于求满足点方程的有序点数的问题，可以将点方程看作一个能量函数，然后使用模拟退火算法来找到最小能量状态，也就是最优的点序列。

具体步骤如下：

1. 初始化当前状态为任意一个点序列；
2. 计算当前状态的能量值（即满足点方程的有序点数）；
3. 扰动当前状态得到一个新状态（例如交换两个点的位置）；
4. 计算新状态的能量值；
5. 如果新状态的能量值更优，则接受新状态；否则，以一定概率接受新状态（这个概率随着算法的迭代次数越来越小，最终趋于零）；
6. 不断重复2-5步，直到达到迭代次数或者能量值已经趋于最小值。

模拟退火算法的时间复杂度取决于迭代次数和扰动函数（即如何生成新状态）。在实际应用中，通常需要通过实验来确定合适的迭代次数和扰动函数。

下面是实现模拟退火算法求满足点方程的有序点数的 Python 代码：

import random
import math

def simulated_annealing(points, A, B, C, iter_num=2000, T=100, decay_rate=0.99):
    # 初始状态
    state = list(range(len(points)))
    random.shuffle(state)
    energy = calculate_energy(state)

    # 扰动函数
    def perturb(state):
        i, j = sorted(random.sample(range(len(state)), 2))
        return state[:i] + list(reversed(state[i:j+1])) + state[j+1:]

    # 计算能量值
    def calculate_energy(state):
        res = 0
        for i in range(1, len(state)):
            x1, y1 = points[state[i-1]]
            x2, y2 = points[state[i]]
            if A*y1 + B*x1 + C > 0 and A*y2 + B*x2 + C < 0:
                res += 1
        return res

    # 模拟退火
    for i in range(iter_num):
        new_state = perturb(state)  # 扰动当前状态
        new_energy = calculate_energy(new_state)  # 计算新状态的能量值
        delta_E = new_energy - energy  # 计算能量差
        T *= decay_rate  # 降温
        if delta_E <= 0 or math.exp(-delta_E/T) > random.random():  # 确定是否接受新状态
            state = new_state
            energy = new_energy

    return energy

其中 points 是一个点的列表，A、B、C 分别是点方程 Ax+By+C=0 中的常数。iter_num、T 和 decay_rate 分别是迭代次数、初始温度和降温速度的参数，可以根据实际情况进行调整。