博弈论中的最大期望算法

简介

博弈论是数学、经济学和计算机科学的交叉学科，研究的是有多个参与者的策略决策问题，其中每个参与者的决策会影响到其他参与者的利益。在博弈论中，最大期望算法是计算博弈的一个重要方法，它可以用于计算参与者在策略决策问题中的最佳反应策略。

最大期望算法可以帮助程序员解决很多实际问题，例如：

• 寻找博弈中的最佳策略
• 计算参与者的最佳反应策略
• 模拟不同的策略并进行对比分析
• 分析博弈的稳定性和收敛性

算法思想

最大期望算法的基本思想是：在博弈中，每个参与者都会尽力为自己争取最大利益。因此，我们可以通过计算每个参与者选择某一策略后所能得到的最大期望值来确定该参与者的最佳反应策略。

max_{s'=s}(E(u_i(s,s'_{-i}))

其中，s' 表示参与者的下一个策略，s'{-i} 表示其他参与者的当前策略，u_i(s,s'{-i}) 表示在参与者选择策略 s 且其他参与者选择策略 s'{-i} 时，该参与者的收益值。期望值 E(u_i(s,s'{-i})) 可以通过概率分布计算得到。

算法流程

最大期望算法的流程如下：

1. 为每个参与者初始化策略
2. 对于所有参与者，计算其总体期望收益值
3. 对于每个参与者，计算其可选策略中的最大期望值
4. 如果某个参与者的策略改变了，则跳转到步骤 2
5. 如果所有参与者的策略都没有改变，则算法结束

示例代码

下面是最大期望算法的 Python 示例代码：

import numpy as np

def max_exp_algo(utilities, strategies, num_players, num_rounds):
    """
    :param utilities: 用于计算期望收益的概率分布
    :param strategies: 参与者的初始策略
    :param num_players: 参与博弈的参与者数量
    :param num_rounds: 博弈的轮数
    :return: 最佳反应策略
    """
    for i in range(num_rounds):
        for j in range(num_players):
            max_strategy = strategies[j]
            max_utility = 0
            for k in range(len(utilities)):
                prob = np.prod([utilities[l](strategies[j], strategies[l]) for l in range(num_players) if l != j])
                utility = utilities[j](strategies[j], k)
                expected_utility = prob * utility
                if expected_utility > max_utility:
                    max_utility = expected_utility
                    max_strategy = k
            if max_strategy != strategies[j]:
                strategies[j] = max_strategy
                break
    return strategies

参考资料

1. Skyrms, B. (2004). The Stag Hunt and the Evolution of Social Structure. Cambridge University Press.
2. 博弈论与经济学（第 5 版），洪灿培等，中国人民大学出版社，2015 年。