RD Sharma 解决方案 - 第 11 类 - 第 26 章椭圆 - 练习 26.1 |设置 2

该解决方案是 RD Sharma 教材第 11 类中第 26 章椭圆中练习 26.1 - 设置 2 的解答。它提供了针对该问题的详细解释和步骤，并提供对应的代码片段供程序员参考。

练习 26.1 - 设置 2

证明以下两个椭圆彼此相似，并找到它们之间的比例。

(i) $\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1$ 和 $\frac{x^2}{a'^2}+ \frac{y^2}{b'^2} = 1$;

(ii) $\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{4b^2} = 1$ 和 $\frac{x^2}{a'^2}+ \frac{y^2}{4b'^2} = 1$。

解决方案

问题 (i)

设 $P(x, y)$ 是第一个椭圆上的一点，$P'(x', y')$ 是第二个椭圆上与点 $P$ 对应的点。

将两个椭圆相减，得到

$$ \left(\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}\right) - \left(\frac{x^2}{a'^2}+ \frac{y^2}{b'^2}\right) = 1 - 1 $$

化简后得到

$$ \frac{(b^2 - b'^2)x^2}{a^2b'^2} + \frac{(a^2 - a'^2)y^2}{a'^2b^2} = \frac{a^2b^2 - a'^2b'^2}{a^2b^2b'^2} $$

令 $k$ 表示第一个椭圆与第二个椭圆之间的比例，则

$$ \begin{aligned} k^2 &= \frac{a'^2b'^2}{a^2b^2} \ &= \frac{b^2 - b'^2}{a^2 - a'^2} \end{aligned} $$

这可以简化为

$$ \frac{b^2}{a^2} - k^2\frac{b'^2}{a'^2} = 1 $$

因此，我们可以找到 $k$：

$$ k = \sqrt{\frac{a^2b^2 - b^2a'^2}{a^2b^2 - b'^2a^2}} $$

因此，第一个椭圆与第二个椭圆相似，它们之间的比例为 $k$。

问题 (ii)

与问题 (i) 类似，我们将两个椭圆相减，得到：

$$ \frac{(4b^2 - 4b'^2)x^2}{a^2b'^2} + \frac{(a^2 - a'^2)y^2}{a'^2b^2} = \frac{4a^2b^2 - 4a'^2b'^2}{a^2b^2b'^2} $$

令 $k$ 表示第一个椭圆与第二个椭圆之间的比例，则

$$ \begin{aligned} k^2 &= \frac{4a'^2b'^2}{4a^2b^2} \ &= \frac{4b^2 - 4b'^2}{a^2 - a'^2} \end{aligned} $$

这可以简化为

$$ \frac{4b^2}{a^2} - k^2\frac{4b'^2}{a'^2} = 1 $$

因此，我们可以找到 $k$：

$$ k = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - 4b^2a'^2}{4a^2b^2 - 4b'^2a^2}} $$

因此，第一个椭圆与第二个椭圆相似，它们之间的比例为 $k$。

代码片段

# 问题 (i) 的代码片段
a = 5.0
b = 3.0
a2 = 7.0
b2 = 2.0

k = (a * b) / (a2 * b2)
print("两个椭圆之间的比例为: ", k)

# 问题 (ii) 的代码片段
a = 3.0
b = 2.0
a2 = 5.0
b2 = 4.0

k = 2 * (a * b) / (a2 * b2)
print("两个椭圆之间的比例为: ", k)

请注意，这些代码片段只是展示如何在 Python 中计算问题的答案。在实际应用中，您需要根据您的需要进行修改，并考虑边界值和异常情况。