国际空间研究组织 | ISRO CS 2009 | 问题 16

这是国际空间研究组织 2009 年的程序员考试题目，问题 16。

问题描述

给定一个长度为 n 的非负整数序列 a[1], a[2], ..., a[n]。现在要从中选出一个子序列，使得这个子序列中任意两个相邻的数的差的绝对值都是 1。求这个子序列的最大长度。

解题思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体地，设 f[i] 表示以 a[i] 结尾的子序列中满足条件的最大长度。则我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i] = \begin{cases} 1 & ,\text{if }i=1 \ \max_{j=1}^{i-1}f[j]+1 & ,\text{if }|a[i]-a[j]|=1 \end{cases} $$

其中 |x| 表示 x 的绝对值。时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

代码实现

def max_subsequence_length(n: int, a: List[int]) -> int:
    f = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if abs(a[i] - a[j]) == 1:
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1)
    return max(f)

总结

本题要求的子序列的性质比较特殊，因此我们需要使用动态规划来解决它。通过状态转移方程，我们可以求得以每个位置结尾的子序列中满足条件的最大长度，然后取其中最大值即可。时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。