Caratheodory定理

1. 简介

Caratheodory定理是一个用于描述几何中关于集合的定理，它被广泛应用于优化问题和计算几何问题中。简而言之，Caratheodory定理指出，对于凸包中的任何一点，都可以用凸包中的最多$d+1$个点来表示。

2. 定理表述

Caratheodory定理的正式表述如下：

设$S\subseteq \mathbb{R}^d$是一个凸集，$p\in conv(S)$是$S$的凸包中的一点，则存在$S$中某$d+1$个点的子集$T$，使得$p\in conv(T)$。

这个定理的意思是说，无论$S$有多复杂，只需要最多选择$d+1$个点，就可以将凸包中的任意一点表示为这$d+1$个点的凸组合。

3. 应用

Caratheodory定理在计算几何和优化等领域有广泛的应用。例如，在计算几何中，Caratheodory定理可以用于求解$d$维欧几里德距离最近点对问题；在优化中，Caratheodory定理可以用于约束最优化问题的求解。

具体来说，对于凸集$S$中的任意一点$p\in conv(S)$，我们可以使用以下方法来找到用$d+1$个$S$中的点组成凸包的表示：

1. 对$S$中的所有点做Gram-Schmidt正交化，得到一组单位向量$(\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_d)$；
2. 将$p$表示为单位向量$\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}d$的线性组合：$p = \sum{i=1}^d \alpha_i\mathbf{e}_i$；
3. 在$S$中找到$d+1$个点$q_1,\ldots,q_{d+1}$，使得它们的单位向量是线性无关的（即它们满足$\mathbf{e}{i_1},\ldots,\mathbf{e}{i_{d+1}}$线性无关）；
4. 将$p$表示为$(q_1,\ldots,q_{d+1})$的线性组合：$p = \sum_{i=1}^{d+1} \beta_i q_i$；
5. 用$q_1,\ldots,q_{d+1}$的凸组合代替$p$。

可以证明，在$d+1$个点可以表示$p$的任意一点处，上述算法会终止并返回一个满足条件的解。

4. 总结

Caratheodory定理是一个具有广泛应用的几何学定理，它提供了一种将任意凸包中的一点表示为少数几个点的凸组合的方法。这个定理可以用于计算几何和优化等领域的问题，并且有着比较高的实用性。