布尔代数定理

布尔代数定理是用于改变布尔表达式形式的定理。有时这些定理用于最小化表达式的项，有时它们仅用于将表达式从一种形式转换为另一种形式。

数字逻辑中有布尔代数定理：

1.德摩根定理：
DE Morgan 定理代表了布尔代数的两个最重要的规则。

(i). (A . B)' = A' + B' 

因此，变量乘积的补码等于它们各自的补码之和。

(ii). (A + B)' = A' . B' 

因此，变量总和的补码等于它们各自补码的乘积。

上述两条定律可以扩展为 n 个变量为

(A1 . A2 . A3 ... An)' = A1' + A2' + ... + An'

And

(A1 + A2 + ... + An)' = A1' . A2' . A3' ... An' 

2. 换位定理：
它指出：

AB + A'C = (A + C) (A' + B)

证明：

RHS 
= (A + C) (A' + B)
= AA' + A'C + AB + CB
= 0 + A'C + AB + BC
= A'C + AB + BC(A + A')
= AB + ABC + A'C + A'BC
= AB + A'C
= LHS 

3.冗余定理：
该定理用于消除冗余项。一个变量与某个变量相关联，其补码与其他某个变量相关联，下一项由剩余的变量组成，那么该项就变得多余了。

例子：

AB + BC' + AC = AC + BC' 

证明：

LHS 
= AB + BC' + AC
= AB(C + C') + BC'(A + A') + AC(B + B')
= ABC + ABC' + ABC' + A'BC' + ABC + AB'c
= ABC + ABC' + A'BC' + AB'C
= AC(B + B') + BC'(A + A')
= AC + BC'
= RHS 

4.对偶定理：
对偶表达式相当于写出给定布尔关系的负逻辑。为了这，

1. 用 AND 符号更改每个 OR 符号，反之亦然。
2. 补充表达式中出现的任何 0 或 1。
3. 保持字面量，因为它是。

例子：

Dual of A(B+C) = A+(B.C) = (A+B)(A+C)

5. 互补定理：
为了获得补体表达，

1. 用 AND 符号更改每个 OR 符号，反之亦然。
2. 补充表达式中出现的任何 0 或 1。
3. 补充个别字面量。

例子：

Complement of A(B+C) = A'+(B'.C') = (A'+B')(A'+C')