求解任何子矩阵可能的最大迹线

问题描述

给定一个 $n\times m$ 的矩阵 $A$，求该矩阵的任意子矩阵的可能最大迹线。其中，$A$ 的迹线定义为其主对角线上的元素之和。

例如，对于以下 $3\times 3$ 的矩阵：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \ \end{pmatrix} $$

其可能的子矩阵为：

$$ \begin{matrix} 1 & \underline{2} & 3 & \quad 1 & \quad 2 & \underline{3} & \quad 1 & \quad 2 & \quad 3 \ 4 & \underline{5} & 6 & \quad 4 & \quad 5 & \underline{6} & \quad 4 & \quad 5 & \quad 6 \ 7 & \underline{8} & 9 & \quad 7 & \quad 8 & \underline{9} & \quad 7 & \quad 8 & \quad 9 \ \end{matrix} $$

其对应的迹线分别为 5、15、24、12、15、18、6、15、24。其中最大的迹线为 24。

解法思路

这个问题可以通过枚举矩阵中的每个子矩阵，并计算其对应的迹线来解决。假设矩阵 $A$ 的左上角为 $(1,1)$，右下角为 $(n,m)$，则矩阵 $A$ 的所有子矩阵可以通过以下方式枚举：

$$ \begin{aligned} & (i,j) \ & \left(\begin{matrix} i & j \ n & m \ \end{matrix}\right) \end{aligned} $$

其中 $(i,j)$ 表示所有左上角为 $(i,j)$ 的子矩阵，$\left(\begin{matrix}i & j \n & m\end{matrix}\right)$ 表示所有以 $(i,j)$ 和 $(n,m)$ 为对角顶点的子矩阵。

然而，这个算法的时间复杂度为 $O(n^6)$，过于低效，无法处理较大的矩阵。因此，我们需要考虑优化算法。

通过观察，我们可以发现每个子矩阵之间有重叠的部分，因此有很多计算是重复的。例如，对于以下 $3\times 3$ 的矩阵：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \ \end{pmatrix} $$

其子矩阵 $\left(\begin{matrix}1 & 1 \2 & 2\end{matrix}\right)$、$\left(\begin{matrix}1 & 2 \2 & 3\end{matrix}\right)$、$\left(\begin{matrix}2 & 1 \3 & 2\end{matrix}\right)$ 和 $\left(\begin{matrix}2 & 2 \3 & 3\end{matrix}\right)$ 都包含了 $(2,2)$ 这个元素。因此，在计算这些子矩阵的迹线时，$(2,2)$ 这个元素的贡献会被计算多次，导致了重复计算。

为了消除这样的重复计算，我们可以采用动态规划的思路，预处理出所有以 $(i,j)$ 为左上角，$(k,l)$ 为右下角的子矩阵的主对角线元素之和，并将其存储在矩阵 $sum$ 中，即：

$$ sum_{i,j,k,l}=\sum_{x=1}^{k-i+1}A_{i+x-1,j+x-1}+\sum_{y=1}^{l-j}A_{k,y+j-1} $$

其中 $sum_{i,j,k,l}$ 表示以 $(i,j)$ 为左上角，$(k,l)$ 为右下角的子矩阵的主对角线元素之和。这样就可以将每个子矩阵的迹线的计算过程转化为矩阵 $sum$ 中的一些简单的加法和减法。

代码实现

以下是一个 Python 实现的示例：