第 10 类 RD Sharma 解决方案 - 第 8 章二次方程 - 练习 8.7 |设置 2

简介

RD Sharma 解决方案是印度高中数学配套教材的题目解答集。第 10 类 RD Sharma 解决方案是高中三年级数学内容，适用于年龄在 15 至 17 岁的学生。本篇为第 8 章二次方程的练习 8.7 的解答，为学生们提供了对该章节的详细解释和指导，帮助他们更好地理解和学习二次方程的内容。

代码片段

以下是第 10 类 RD Sharma 解决方案 - 第 8 章二次方程 - 练习 8.7 的代码片段。

### 练习 8.7 | 设置 2

1. 证明：如果 $b \neq 0$，那么方程 $x^2 + 2ax + b = 0$ 的两个根有一个是 $a + \sqrt{a^2-b}$ ，另一个是 $a - \sqrt{a^2-b}$。

   **解答：**

   给定方程 $x^2 + 2ax + b = 0$，我们需要证明 $a + \sqrt{a^2-b}$ 和 $a - \sqrt{a^2-b}$ 是方程的两个根。

   设 $x = a + \sqrt{a^2-b}$，则有：

   $$
   \begin{aligned}
   x - a &= \sqrt{a^2 - b} \\
   x - a^2 &= a^2 - b \\
   x^2 - 2ax + a^2 &= a^2 - b \\
   x^2 + 2ax + b &= 0
   \end{aligned}
   $$

   因此 $a + \sqrt{a^2-b}$ 是方程的一个根。

   同理，设 $y = a - \sqrt{a^2-b}$，则有：

   $$
   \begin{aligned}
   a - y &= \sqrt{a^2 - b} \\
   a^2 - y^2 &= a^2 - b \\
   y^2 - 2ay + a^2 &= a^2 - b \\
   y^2 + 2ay + b &= 0
   \end{aligned}
   $$

   因此 $a - \sqrt{a^2-b}$ 是方程的另一个根。

   综上所述，$a + \sqrt{a^2-b}$ 和 $a - \sqrt{a^2-b}$ 是方程 $x^2 + 2ax + b = 0$ 的两个根。

2. 如果 $a^2 - b$ 是完全平方数，那么 $x^2 + 2ax + b = 0$ 的根是两个整数。

   **解答：**

   设 $a^2-b = k^2$，其中 $k$ 是整数。

   我们有：

   $$
   \begin{aligned}
   x^2 + 2ax + b &= 0 \\
   x^2 + 2ax + a^2 - a^2 + b &= 0 \\
   (x + a)^2 - (a^2 - b) &= 0 \\
   (x + a)^2 - k^2 &= 0
   \end{aligned}
   $$

   利用完全平方公式 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，我们可以将 $(x + a)^2 - k^2$ 因式分解为 $(x + a + k)(x + a - k)$，因此：

   $$
   \begin{aligned}
   (x + a + k)(x + a - k) &= 0 \\
   x + a + k &= 0 \text{ 或 } x + a - k = 0
   \end{aligned}
   $$

   因此 $x = -a \pm k$，即 $x$ 的两个根是 $-a + k$ 和 $-a - k$，都是整数。

3. 如果 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $x^2 + 2ax + b = 0$ 的两个根都是整数，则 $a^2 - b$ 是完全平方数。

   **解答：**

   设 $x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2 + 2ax + b = 0$ 的两个整数根。

   根据 Vieta 定理，我们有：

   $$
   \begin{aligned}
   x_1 + x_2 &= -2a \\
   x_1 \cdot x_2 &= b
   \end{aligned}
   $$

   将 $x_1 + x_2 = -2a$ 代入 $a^2 - b$，得：

   $$
   \begin{aligned}
   a^2 - b &= a^2 - (x_1 \cdot x_2) \\
   &= a^2 - (-(x_1 + x_2))^2 + 2ax_1x_2 \\
   &= (a + x_1 + x_2)(a - x_1 - x_2) + 2ax_1x_2 \\
   &= (a - x_1 - x_2)^2 + 2ax_1x_2
   \end{aligned}
   $$

   因为 $x_1$ 和 $x_2$ 都是整数，所以 $2ax_1x_2$ 是整数。另外，$a - x_1 - x_2$ 也是整数。因此 $a^2 - b$ 是完全平方数。