第 10 类 RD Sharma 解决方案 - 第 8 章二次方程 - 练习 8.6 |设置 2

问题 11. 如果 – 5 是二次方程 2x² + px – 15 = 0 的根，并且二次方程 p(x² + x) + k = 0 有等根，求 k 的值。

解决方案：

2x² + px – 15 = 0

-5 is its one root

It will satisfy it

2(-5)²+p(-5)-15=0

2*25-5p-15=0

50-15-5p=0

-5p+35=0

-5p=-35

p=-35/-5=7

Now in equation 

p(x²+x)+k=0

7(x²+x)+k=0

7x²+7x+k=0

Here, a=7, b=7, c=k

D or b²-4ac = (7)²-4*7*k

=49-28k

Roots are real and equal

D or b²-4ac=0

49-28k=0⇒28k=49

k=49/28=7/4

问题 12. 如果 2 是二次方程 3x² + px – 8 = 0 的根，并且二次方程 4x² – 2px + k = 0 有相等的根，求 k 的值。

解决方案：

2 is a root of 3x²+px-8=0

It will satisfy if

3(2)²+p*2-8=0

12+2p-8=0

4+2p=0

2p=-4

p=-4/2=-2

p=-2

Now in equation,

4x²-2px+k=0

4x²-2*(-2)x+k=0

4x²+4x+k=0

Here, a=4, b=4, c=k

D=b²-4ac=(4)²-4*4*k

=16- 16k

Roots are real and equal

D or b²-4ac=0

 16-16k=0

=> 16k = 16

k = 16

问题 13. 如果 1 是二次方程 3x² + ax – 2 = 0 的根，并且二次方程 a(x² + 6x) – b=0 有相等的根，求 b 的值。

解决方案：

1 is one root of

3x² + ax – 2 = 0

3(1)²+a*1-2=0

3+a-2=0⇒a+1=0

a=-1

Now in equation a(x²+6x)-b=0

-1(x²+6x)-b=0

-x²-6x-b=0

⇒x²+6x+b=0

Here, a=1, b=6, c=b

D=b²-4ac=(6)²-4*1*k

=36-4k

Roots are equal

D or b²-4ac=0

36-4k=0

4k=-36

k=-36/4=-9

问题 14. 求二次方程 (p + 1) x² – 6 (p + 1) x + 3 (p + q) = 0, p ≠ -1 具有等根的 p 值。因此，求方程的根。

解决方案：

(p+1)x²-6(p+1)x+3(p+9)=0,

p≠-1

Comparing with ax²+bx+c=0

b²-4ac, c=p+1, b=-6(p+1), c=3(p+9)

Now D=b²-4ac

=[-6(p+1)]²-4*(p+1)*3(p+9)

=36(p+9)²-12(p+1)(p+9)

Roots are equal

D=0

⇒36(p+1)²-12(p+1)(p+9)=0

⇒36(p+1)²=12(p+1)(p+9)

⇒3(p+1)=p+9⇒3p+3=p+9

⇒3p-p=⇒9-3⇒2p=6

p=6/2=3

p=3

$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ =\frac{6(p+1)+0}{2*(p+1)}=\frac{6(p+1)}{2(p+1)}=3$

Hence, x=3,3

问题 15. 确定以下二次方程的根的性质：

(i) (x – 2a) (x – 2b) = 4ab

解决方案：

 ⇒x²-2bx-2ax+4ab-4ab=0

Here,  a=1,b=-2(a+b),  c=0

Discriminant(D)=b²-4ac

={-2(a+b)}²-4*1*0

={-2(a+b)}²

D>0

Roots are real and distinct

(ii) 9a²b²x² – 24abcdx + 16c²d² = 0, a ≠ 0, b ≠ 0

解决方案：

Here a=9a²b², b=-24abcd, c=16c²d²

D=b²-4ac

=(-24abcd)²-4*9a²b²*16c²d²

=576a²b2c²d²-576a²b²c²d²

=0

D=0

Roots are real and equal

(iii) 2 (a² + b²) x² + 2 (a + b) x + 1 = 0

解决方案：

Here a=2(a²+b²), b=2(a+b), c=1

D=b²-4ac

={2(a+b)}²-4*2(a²+b²)*1

=4(a²+b²+2ab)-8(a²+b²)

=4a²+4b²+8ab-8a²-8b²

=8ab-4a²-4b²

=-(4a²+4b²-8ab)

=-4(a²+b²-2ab)

=-4(a-b)²

D<0

Root are not real

(iv) (b + c) x² – (a + b + c) x + a = 0

解决方案：

Here a=b+c, b=-(a+b+c),  c=a

D=b²-4ac

=[-(a+b+c)]²-4*(b+c)*a

=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=4ab-4ca

=a²+b²+c²-2ab+2bc-2ca

=[-a+b+c]²

D>0

Roots are real and distinct.

问题 16. 确定以下给定二次方程具有实根的 k 值的集合：

(i) x² – kx + 9 = 0

解决方案：

Here a=1, b=-k, c=9

D=b²-4ac

=(-k)²-4*1*9

=k²-36

Roots are real

D≥⇒k2-36≥0

k²≥36⇒k²(±6)²

k≥6  or k≤-6

(ii) 2x² + kx + 2 = 0

解决方案：

Here,  a=2, b=k,  c=2

D=b²-4ac

=(k)²-4*2*2

=k²-16

Roots are real

D≥0⇒k²-16≥0

k²≥16⇒(k)²≥(±4)²

k≥4  or  k≤-4

(iii) 4x² – 3kx +1=0

解决方案：

Here a=4, b=-3k, c=1

D=b²-4ac

=(-3k)²-4*4*1

=9k²-16

Roots are real 

D≥0⇒9k²-16≥0

9k²≥16⇒k²≥16/9

(k)²≥(±$\frac{4}{3}$)²

k≥4/3 or k≤-4/3

(iv) 2x² + kx – 4 = 0

解决方案：

Here a=2, b=k, c=-4

D=b²-4ac

=k²-4*2*(-4)

=k²+32

The roots are real

D≥0⇒k²+32≥0

k²+32≥0 for all value of 

k ∈ R

问题 17. 如果方程 (b – c) x² + (c – a) x + (a – b) = 0 的根相等，则证明 2b = a + c。 [CBSE 2002C]

解决方案：

(b – c) x² + (c – a) x + (a – b) = 0

Here a=b-c,  B=c-a,  c=a-b

D=b²-4ac

=(c-a)²-4(b-c)(a-b)

The roots are equal

D=0

(c-a)²-4(b-c)(a-b)=0

c²+a²-2ca-4(ab-b²-ca+bc)=0

c²+a²-2ca-4ab+4b²+4ca-4bc=0

a²+4b²+c²-4ab-4bc+2ca=0

(a-2b+c)²=0⇒a-2b+c=0

=> a + c = 2b

=> 2b = a + c

Hence proved.

问题 18. 如果方程 (a² + b²) x² – 2 (ac + bd) x + (c² + d²) = 0 的根相等。证明 ab = cd

解决方案：

Here a=a² + b², b= – 2 (ac + bd), c=c² + d²

D=b²-4ac

=[-2(ac+bd)]²-4(a²+b²)(c²+d²)

=4(ac+bd)2-4[a²c²+a²d²+b²c²+b²d²]

=4[a²c²+b²d²+2abcd]-4[a²c²+a²d²+b²c²+b²d²]

=4a²c²+4b²d²+8abcd-4a²d²-4b²c²-4b²d²

=8abcd-4a²d²-4b²c²

The roots are equal

D=0

8abcd-4a²d²-4b²c²=0

a²d²+b²c²-2abcd=0                 ———–(Dividing by -4)

(ad-bc)²=0⇒ad-bc=0

ad=bc⇒a/b=c/d

问题 19. 如果方程 ax² + 2bx + c = 0 和 bx² – 2√ac x + b = 0 的根同时为实数，则证明 b² = ac

解决方案：

ax²+2bx+c=0             ———–(i)

and bx²-2$\sqrt{ac}$x+b=0     ———–(ii)

Let D₁ and D₂ are the discriminants of there simultaneous equation (i) and (ii)

D1=(2b)²-4*a*c=4b²-4ac

 and D₂=(-2$\sqrt{ac}$)²-4*b*b

=4ac=4b²

These have real roots

D₁≥0⇒4b²-4ac≥0

⇒4b2≥4ac⇒b2≥ac         ————-(i)

and D₂≥0

Therefore, 4ac-4b²≥0 ⇒4ac≥4b²

ac ≥ b²    ——————(ii)

ac≥b²≥ac

b²=ac

问题 20. 如果 p, q 是实数且 p ≠ q，则证明方程 (p – q) x² + 5(p + q) x – 2(p – q) = 0 的根是实数且不等的。

解决方案：

Here a=p-q, b=5(p+q), c=-2(p-q)

D=b²-4ac

=[5(p+q)]²-4*(p-q)*-2(p-q)

=25(p+q)²+8(p-q)²

p and q are real and p≠q

25(p+q)²+8(p-q)≥0

The given quadratic equation has real and unequal roots.

问题 21. 如果方程 (c² – ab) x² – 2 (a² – bc) x + b² – ac = 0 的根相等，请证明 a = 0 或 a3 + b3 + c3 = 3abc。

解决方案：

Here a=c²-ab, b=-2(a²-bc), c=b2-ac

D=b²-4ac

=[-2(a²-bc)]²-4(c²-ab)(b²-ac)

=4[a⁴+b²c²-2a²bc]-4[b²c²-ac³-ab³+a²bc]

=4a⁴+4b²c²-8a²bc-4b²c²+4ac³+4ab³-4ac²bc

=4a⁴+4ab+4ac³-12a²bc

=4a[a³+b³+c³-3abc]

D=0

4a(a³+b³+c³-3abc)=0

a(a³+b³+c³-3abc)=0

Either a=0

or a³+b³+c³=3abc=0

a³+b³+c³=3abc

问题 22. 证明等式 2 (a² + b²) x² + 2 (a + b) x + 1 = 0 当 a ≠ b 时没有实根。

解决方案：

Here a=2(a+b2), b=2(a+b), c=1

D=b²-4ac

[2(a+b)]²-4*2*(a²+b²)*1

4(a+b²+2ab)-8(a²+b²)

=4a²+4b²+8ab-8a²-8b²

=-4a²-b²+8ab

-4[a²+b²-2ab]

=-4(a-b)²

D<0

Roots are not real

问题 23. 证明方程 (x – a) (x – b) + (x – b) (x – c) + (x – c) (x – a) = 0 的两个根都是实数，但它们是仅当 a = b = c 时相等。

解决方案：

Here a=3, b=-2(a+b+c), c=ab+ac+ca

D=b²-4ac

=[-2(a+b+c)]²-4*3(ab+bc+ca)

=4(a+b+c)²-12(ab+bc+ca)

=4[(a+b+c)]²-3(ab+bc+ca)

=4[a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca]

=2[(a-b)]²+(b-c)²+(c-a)2]

Clearly, D≥0

Roots are real 

If roots are equal, then

D=0

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

a-b=0, b-c=0, c-a=0

a=b=, b=c, c=a

a=b=c   

Hence proved

问题 24. 如果 a、b、c 是实数，且 ac ≠ 0，则证明方程 ax² + bx + c = 0 和 – ax² + bx + c = 0 中至少有一个有实根。

解决方案：

a,b,c are real number

and ac≠0

ax²+bx+c=0        ———-(i)

-ax+bx+c=0        ——–(ii)

Let D₁ and D₂ be the discriminants of the two equation (i) and (ii)

D₁= b²-4ac and D₂=b²-4ac

If equation (i) has real roots, then

D₁≥0

b²-4ac≥0

b²-≥ac

Now D²=b²+4ac

4ac≤b²

b²+4ac≥0

D≥0

Both the equation has real roots

Hence proved

问题 25. 如果方程 (1 + m²) x² + 2mcx + (c² – a²) = 0 有相等的根，证明 c² = a² (1 + m²)。

解决方案：

Here a=1+m², b=2mc, c=c²-a²

D=b²-4ac

=(2mc)²-4(1+m²)(c²-a²)

=4m²c²-4c²+4a-4m²c²+4m²a²

=4a²+4m²a²-4c²

Root are equal

D=0⇒4a²+4m2a²-4c²=0

a²+m²a²-c²=0

a²+m²a²=c²

a²(a+m²)=c²

c²=a²(¹+m²)

Hence proved