10类RD Sharma解–第8章二次方程式–练习8.9

本篇介绍的是《RD Sharma数学书》中第8章二次方程式的习题8.9。该习题主要涉及到二次方程的根、判别式、负数的平方与负数的根号、分式方程等内容。

题目

解下列方程：

(a) $5x^2 + 12x - 1 = 0$

(b) $2x^2 - 3x + 2 = 0$

(c) $10x^2 - 11x - 12 = 0$

(d) $7x^2 - 10x - 3 = 0$

解题思路

对于每个方程，我们可以使用公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 来求解其两个根。

我们首先需要判断判别式 $D = b^2 - 4ac$ 的值。如果 $D > 0$，则有两个不相等的实根；如果 $D = 0$，则有两个相等的实根；如果 $D < 0$，则有两个共轭虚根。

如果需要计算负数的平方或根号，则可以利用以下关系式：

$a^2 = (-a)^2$

$\sqrt{-a} = i \sqrt{a}$

其中 $i$ 是虚数单位。

对于分式方程，则需要将其化为二次方程的形式，然后使用公式求解。

解题步骤

(a) $5x^2 + 12x - 1 = 0$

$a = 5, b = 12, c = -1$

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 184$

因为 $D > 0$，因此有两个不相等的实根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{-12 + \sqrt{184}}{10} \approx 0.12$

$x_2 = \dfrac{-12 - \sqrt{184}}{10} \approx -2.02$

(b) $2x^2 - 3x + 2 = 0$

$a = 2, b = -3, c = 2$

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -7$

因为 $D < 0$，因此有两个共轭虚根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{3 + i\sqrt{7}}{4}$

$x_2 = \dfrac{3 - i\sqrt{7}}{4}$

(c) $10x^2 - 11x - 12 = 0$

$a = 10, b = -11, c = -12$

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-12) = 841$

因为 $D > 0$，因此有两个不相等的实根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{11 + \sqrt{841}}{20} = 1$

$x_2 = \dfrac{11 - \sqrt{841}}{20} = -\dfrac{6}{5}$

(d) $7x^2 - 10x - 3 = 0$

$a = 7, b = -10, c = -3$

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 244$

因为 $D > 0$，因此有两个不相等的实根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{10 + \sqrt{244}}{14} \approx 2.43$

$x_2 = \dfrac{10 - \sqrt{244}}{14} \approx -0.53$

代码片段

## 解题思路

对于每个方程，我们可以使用公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 来求解其两个根。

我们首先需要判断判别式 $D = b^2 - 4ac$ 的值。如果 $D > 0$，则有两个不相等的实根；如果 $D = 0$，则有两个相等的实根；如果 $D < 0$，则有两个共轭虚根。

如果需要计算负数的平方或根号，则可以利用以下关系式：

$a^2 = (-a)^2$

$\sqrt{-a} = i \sqrt{a}$

其中 $i$ 是虚数单位。

对于分式方程，则需要将其化为二次方程的形式，然后使用公式求解。

## 解题步骤

(a) $5x^2 + 12x - 1 = 0$

$a = 5, b = 12, c = -1$

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 184`

因为 $D > 0$，因此有两个不相等的实根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{-12 + \sqrt{184}}{10} \approx 0.12`

$x_2 = \dfrac{-12 - \sqrt{184}}{10} \approx -2.02`

(b) $2x^2 - 3x + 2 = 0`

$a = 2, b = -3, c = 2`

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -7`

因为 $D < 0$，因此有两个共轭虚根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{3 + i\sqrt{7}}{4}`

$x_2 = \dfrac{3 - i\sqrt{7}}{4}`

(c) $10x^2 - 11x - 12 = 0`

$a = 10, b = -11, c = -12`

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-12) = 841`

因为 $D > 0$，因此有两个不相等的实根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{11 + \sqrt{841}}{20} = 1`

$x_2 = \dfrac{11 - \sqrt{841}}{20} = -\dfrac{6}{5}`

(d) $7x^2 - 10x - 3 = 0`

$a = 7, b = -10, c = -3`

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 244`

因为 $D > 0$，因此有两个不相等的实根。代入公式，得到：

$x_1 = \dfrac{10 + \sqrt{244}}{14} \approx 2.43`

$x_2 = \dfrac{10 - \sqrt{244}}{14} \approx -0.53`