题目

门| GATE-CS-2000 | 问题 37

题目描述

给定n(n>1)个整数a1,a2,…,an，其中每个整数的范围是1到n(n\leq200)。现在定义以下概念：

• 序列b是序列a的子序列当且仅当b可以由a中删除任意数量的元素但不改变其余元素的相对位置得到。
• b被称为a的LIS (最长递增子序列) ，当且仅当b是递增序列并且没有更长的递增子序列。

例如，arthrakshastra的长度为3，因为a1,a3,a4组成一个递增序列。

现在给定a，设计一个算法，找出一个a的LIS，并且你的算法的最坏情况时间复杂度应该是O(n^2)。

示例

输入：

6
1 4 2 5 3 6

输出：

4

解释：

a的一个LIS是1，2，3，6。

题解

这是一道比较经典的动态规划问题，类似于“最长公共子序列”问题。定义dp[i]表示以第i个数为结尾的最长递增子序列的长度，则有:

$$dp[i] = max_{j<i}(dp[j]+1)$$

其中，$j$满足$a_i>a_j$。

显然，时间复杂度为$O(n^2)$。为了输出LIS序列，我们还需要额外维护一个pre数组，记录每个位置的前驱元素。

算法思路如下：

• 初始化数组dp为1，pre数组为空。
• 从前往后遍历数组，对于每个$a_i$，选出满足$a_i>a_j$的所有$j$，计算dp[i]，并更新其前驱元素pre[i] = j。
• 最后在dp中选出最大值maxLength，记录其位置pos，然后倒序输出从pos开始的元素，直到前驱元素为空（表示已到达LIS的开始）。